Question

10．下面，我們來(lái)研究代數(shù)式x²+x+m的一些相關(guān)問(wèn)題：
（1）如果對(duì)于任意的x，代數(shù)式x²+x+m的值都是正數(shù)，那么m的取值范圍是什么？
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，代數(shù)式x²+x+m的值等于0，試求以下代數(shù)式的值：
①x²⁰¹⁰+x²⁰⁰⁹-x²⁰⁰⁸；
②x³+2x²-2010．

Answer 1

分析 （1）原式配方變形后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出不等式，求出不等式的解集即可確定出m的范圍；
（2）先由已知條件變形得到x²-x=1，再利用整體代入思想計(jì)算即可．

解答 解：（1）配方得：原式=${（{x+\frac{1}{2}}）^2}+m-\frac{1}{4}$，
∵x²+x+m的值都是正數(shù)，
∴$m-\frac{1}{4}＞0$，
得$m＞\frac{1}{4}$．
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，x²+x-1=0，
①x²⁰¹⁰+x²⁰⁰⁹-x²⁰⁰⁸=x²⁰⁰⁸（x²+x-1）=0；
②x³+2x²-2010=x（x²+x-1）+（x²+x-1）-2009=-2009；

點(diǎn)評(píng) 此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．