Question

8．如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，點O既是AC的中點，又是EF的中點．
（1）求證：△BOE≌△DOF；
（2）填空：
①連接BF、DE，則四邊形BEDF是平行四邊形．
②當BD=2OA時，四邊形ABCD是矩形．

Answer 1

分析 （1）由垂直的定義得出∠OEB=∠OFD=90°，由中點的定義得出OE=OF，由ASA證明△BOE≌△DOF即可；
（2）①由全等三角形的性質得出OB=OD，由OE=OF，即可得出四邊形BEDF是平行四邊形；
②先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再證出AC=BD，即可得出四邊形ABCD是矩形．

解答 （1）證明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠OEB=∠OFD=90°，
∵O是EF的中點，
∴OE=OF，
在△BOE和△DOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OEB=∠OFD}&{\;}\\{OE=OF}&{\;}\\{∠BOE=∠DOF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△DOF（ASA）；
（2）解：①四邊形BEDF是平行四邊形；理由如下：
∵△BOE≌△DOF，
∴OB=OD，
又∵OE=OF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形；
故答案為：平行四邊形；
②當BD=2OA時，四邊形ABCD是矩形；理由如下：
∵O是AC的中點，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，
又∵OB=OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵BD=2OA，
∴AC=BD，
∴四邊形ABCD是矩形；
故答案為：2．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、矩形的判定方法、平行四邊形的判定；熟練掌握平行四邊形的判定方法，并能進行推理論證是解決問題的關鍵．