Question

6．如圖，Rt△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，∠C=90°，AD平分∠BAC，點E為AC上一點，且AE=3CE，在AC上找一點F，AD上找一點P，連接EP、FP，則EP+FP的最小值為3.6．

Answer 1

分析 如圖，作EH⊥AB于H，交AD于G，作F關于AD的對稱點F′，連接PF′．因為PF+PE=PE+PF′，根據(jù)垂線段最短可知，當F′與H重合，P與G重合時，PE+PF′最短．

解答 解：如圖，作EH⊥AB于H，交AD于G，作F關于AD的對稱點F′，連接PF′．

∵PF+PE=PE+PF′，
根據(jù)垂線段最短可知，當F′與H重合，P與G重合時，PE+PF′最短．
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵AE=3EC，
∴AE=6，
∵∠EAH=∠BAC，∠EHA=∠C=90°，
∴△AEH∽△ABC，
∴$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴$\frac{EH}{6}$=$\frac{6}{10}$，
∴EH=3.6，
∴PF+PE的最小值為3.6．
故答案為3.6．

點評 本題考查軸對稱-最短問題，角平分線的性質(zhì)、垂線段最短、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會利用對稱，根據(jù)垂線段最短解決最值問題，屬于中考�？碱}型．