Question

20．如圖，∠BAC=30°，M為AC上一點(diǎn)，AM=2，點(diǎn)P是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，PQ⊥AC，垂足為點(diǎn)Q，則PM+PQ的最小值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 本題作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N，根據(jù)軸對(duì)稱性找出點(diǎn)P的位置，如圖，根據(jù)三角函數(shù)求出MN，∠N，再根據(jù)三角函數(shù)求出結(jié)論．

解答 解：作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N，過(guò)N作NQ⊥AC于Q交AB于P，
則NQ的長(zhǎng)即為PM+PQ的最小值，
連接MN交AB于D，則MD⊥AB，DM=DN，
∵∠NPB=∠APQ，
∴∠N=∠BAC=30°，
∵∠BAC=30°，AM=2，
∴MD=$\frac{1}{2}$AM=1，
∴MN=2，
∴NQ=MN•cos∠N=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查含30°直角三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱--最短路線問(wèn)題及三角函數(shù)，正確確定P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．