Question

9．在銳角△ABC中，∠BAC=60°，BN、CM為高，P為BC的中點，連接MN、MP、NP，則結(jié)論：①NP=MP；②AN：AB=AM：AC；③BN=2AN；④當∠ABC=60°時，MN∥BC，一定正確的有（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)對①進行判定；通過證明Rt△AMC∽Rt△ANB得到AN：AM=AB：AC，然后利用比例的性質(zhì)可對②進行判定；在Rt△ABN中，利用60°的正切值可對③進行判定；當∠ABC=60°時可判斷△ABC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到M、N分別為AB、AC的中點，則根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可對④進行判斷．

解答 解：∵BN、CM為高，P為BC的中點，
在Rt△BCM中，PM=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△BCN中，PN=$\frac{1}{2}$BC，
∴PM=PN，所以①正確；
∵∠BAN=∠CMA，
∴Rt△AMC∽Rt△ANB，
∴AN：AM=AB：AC，
∴AN：AB=AM：AC，所以②正確；
在Rt△ABN中，∵tan∠A=$\frac{BN}{AN}$=tan60°，
∴BN=$\sqrt{3}$AN，所以③錯誤；
當∠ABC=60°，
而∠BAC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴M、N分別為AB、AC的中點，
∴MN∥BC，所以④正確．
故選C．

點評 本題考查了相似三角形的判定于性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；在利用相似三角形的性質(zhì)時利用相似比表示線段之間的關(guān)系．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．