Question

20．如圖，點(diǎn)A₂，A₄，A₆，…分別是射線OM上的點(diǎn)，點(diǎn)A₁，A₃，A₅，…分別是y軸正半軸上的點(diǎn)，△OA₁A₂，△OA₂A₃，△OA₃A₄，…分別是以O(shè)A₂，OA₃，OA₄…為底邊的等腰三角形，若OM與x軸正半軸的夾角為60°，OA₁=1，則可求得點(diǎn)A₆的坐標(biāo)為（$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，$\frac{27}{2}$），點(diǎn)A_2n的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$$（\sqrt{3}）^{2n-1}$，$\frac{1}{2}$$（\sqrt{3}）^{2n}$）．

Answer 1

分析 過A₁作A₁B₁⊥OM于點(diǎn)B₁，過A₂作A₂B₂⊥y軸于點(diǎn)B₂，利用等腰三角形的性質(zhì)以及解直角三角形即可找出點(diǎn)A₂、A₃的坐標(biāo)，同理可得出點(diǎn)A₄、A₅、A₆、A₇、…、的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律“點(diǎn)A_2n的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$$（\sqrt{3}）^{2n-1}$，$\frac{1}{2}$$（\sqrt{3}）^{2n}$）”，此題得解．

解答 解：過A₁作A₁B₁⊥OM于點(diǎn)B₁，過A₂作A₂B₂⊥y軸于點(diǎn)B₂，如圖所示．
∵OM與x軸正半軸的夾角為60°，
∴∠A₁OB₁=30°，
∴A₁B₁=$\frac{1}{2}$OA₁=$\frac{1}{2}$，OB₁=$\sqrt{O{{A}_{1}}^{2}-{A}_{1}{{B}_{1}}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵△OA₁A₂為以O(shè)A₂為底邊的等腰三角形，
∴OA₂=2OB₁=$\sqrt{3}$，
∴A₂B₂=$\frac{1}{2}$OA₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OB₂=$\sqrt{O{{A}_{2}}^{2}-{A}_{2}{{B}_{2}}^{2}}$=$\frac{3}{2}$．
∴點(diǎn)A₂的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），點(diǎn)A₃的坐標(biāo)為（0，3）；
同理，可得：點(diǎn)A₄的坐標(biāo)為（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{9}{2}$），點(diǎn)A₅的坐標(biāo)為（0，9），點(diǎn)A₆的坐標(biāo)為（$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，$\frac{27}{2}$），點(diǎn)A₇的坐標(biāo)為（0，27），…，
∴點(diǎn)A_2n的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$$（\sqrt{3}）^{2n-1}$，$\frac{1}{2}$$（\sqrt{3}）^{2n}$）．
故答案為：（$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，$\frac{27}{2}$）；（$\frac{1}{2}$$（\sqrt{3}）^{2n-1}$，$\frac{1}{2}$$（\sqrt{3}）^{2n}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形以及規(guī)律型中點(diǎn)的坐標(biāo)變化，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律“點(diǎn)A_2n的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$$（\sqrt{3}）^{2n-1}$，$\frac{1}{2}$$（\sqrt{3}）^{2n}$）”是解題的關(guān)鍵．