Question

11．如圖（1）是一個晾衣架的實物圖，支架的基本圖形是菱形，MN是晾衣架的一個滑槽，點P在滑槽MN上、下移動時，晾衣架可以伸縮，其示意圖如圖（2）所示，已知每個菱形的邊長均為20cm，且AB=CD=CP=DM=20cm．

（1）當點P向下滑至點N處時，測得∠DCE=60°時
①求滑槽MN的長度；
②此時點A到直線DP的距離是多少？
（2）當點P向上滑至點M處時，點A在相對于（1）的情況下向左移動的距離是多少？
（結(jié)果精確到0.01cm，參考數(shù)據(jù) $\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）

Answer 1

分析 （1）①當點P向下滑至點N處時，如圖1中，作CH⊥DN于H．△CDN是等腰三角形，求出NH的長即可解決問題；
②根據(jù)題意，點A到直線DP的距離是6CH=6×10=60cm．
（2）當點P向上滑至點M處時，如圖2中，△CMD是等邊三角形，求出此時點A到直線DP的距離即可解決問題；

解答 解：（1）①當點P向下滑至點N處時，如圖1中，作CH⊥DN于H．
∵∠DCE=60°，
∴∠DCN=180°-∠DCE=120°，
∵CD=CP=20cm，即CD=CN=20cm，
∴∠CDN=$\frac{1}{2}$（180°-∠DCN）=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$CD=10cm，NH=DH=$\sqrt{2{0}^{2}-1{0}^{2}}$=10$\sqrt{3}$（cm），
∴MN=DN-DM=2DH-DM=20$\sqrt{3}$-20≈14.6cm．
∴滑槽MN的長度為14.6cm．

②根據(jù)題意，點A到直線DP的距離是6CH=6×10=60cm．

（2）當點P向上滑至點M處時，如圖2中，△CMD是等邊三角形，
∴∠CDM=60°，
作CG⊥DM于G，則CG=CD•sin60°=20×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$（cm），
此時點A到直線DP的距離是6CG=6×10$\sqrt{3}$=60$\sqrt{3}$，
∵60$\sqrt{3}$-60≈43.9cm，
∴點A在相對于（1）的情況下向左移動的距離是43.9cm．

點評 本題考查菱形的性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，熟練掌握基本知識解決問題，屬于中考常考題型．