Question

6．我們把一直角邊是另一直角邊2倍的直角三角形稱為“倍勾三角形”，如圖1，在△ABC中，AB=3，AC=2$\sqrt{2}$，∠BAC=45°，CD⊥AB于D．P是射線AB上的一個動點（不與D重合），E是線段PC的中點，將點E繞點P順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點F，連接FB，F(xiàn)C，F(xiàn)P．
（1）下列三角形：①△PCF，②△DCB，③△DCA，其中是“倍勾三角形”的有①②（填序號）；
（2）求證：CB⊥BF；
（3）連接FA，如圖2，當(dāng)F，E，A三點在一直線上時，△BCF是否為“倍勾三角形”，如果是，請證明；如果不是，求$\frac{BF}{BC}$的值；
（4）當(dāng)△BCF為“倍勾三角形”時，直接寫出所有可能的AP的長度．

Answer 1

分析 （1）求出AD、CD、DB的長即可判斷；
（2）由△CDB∽△CPF，推出∠CBD=∠MBP=∠CFB，由△MBP∽△MFC，推出$\frac{MB}{MF}$=$\frac{MP}{MC}$，推出$\frac{MB}{MP}$=$\frac{MF}{MC}$，又∠M=∠M，即可推出△MCP∽△MFB，推出∠MCP=∠MFB，又∠COB=∠FOP，即可推出∠CBO=∠OPF=90°；
（3）由題意：PE=PF=CE，∠PEF=∠AEC=45°，設(shè)PF=PE=CE=a，由∠AEC=∠EAP+∠APE，∠CAD=∠CAD+∠EAP=45°，推出∠CAE=∠CPA，由∠ACE=∠ACP，推出△ACE∽△PCA，推出AC²=CE•CP，推出2a²=（2$\sqrt{2}$）²，推出a=2，推出PC=4，CD=2，PC=2CD，推出∠CPD=30°，∠DCP=∠BCF=60°，推出∠CFB=30°，推出BF=$\sqrt{3}$BC，推出△BCF不是“倍勾三角形”；
（4）三種情形條件即可①如圖3中，當(dāng)BC=2BF時，作FH⊥AB于H．②如圖4中，同法可以假設(shè)FH=x，BH=2x，想辦法構(gòu)建方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵CD⊥AB，∠A=45°，AB=2$\sqrt{2}$，
∴AD=CD=2，∵AB=3，
∴BD=AB-AD=1，
∴CD=2BD，
∴△CDB是“倍勾三角形”，
∵∠CPF=90°，PC=2PF，
∴△PCF是“倍勾三角形”，
故答案為①②．

（2）如圖1-1中，設(shè)BF交PC于O，延長CB交FP的延長線于M．

∵△CDB，△CPF都是“倍勾三角形”，
∴△CDB∽△CPF，
∴∠CBD=∠MBP=∠CFB，∵∠BMP=∠CMF，
∴△MBP∽△MFC，
∴$\frac{MB}{MF}$=$\frac{MP}{MC}$，
∴$\frac{MB}{MP}$=$\frac{MF}{MC}$，∵∠M=∠M，
∴△MCP∽△MFB，
∴∠MCP=∠MFB，∵∠COB=∠FOP，
∴∠CBO=∠OPF=90°，
∴CB⊥BF．

（3）結(jié)論：△BCF不是“倍勾三角形”，
理由：如圖2中，

由題意：PE=PF=CE，∠PEF=∠AEC=45°，
設(shè)PF=PE=CE=a，
∵∠AEC=∠EAP+∠APE，∠CAD=∠CAD+∠EAP=45°，
∴∠CAE=∠CPA，∵∠ACE=∠ACP，
∴△ACE∽△PCA，
∴AC²=CE•CP，
∴2a²=（2$\sqrt{2}$）²，
∴a=2，
∴PC=4，CD=2，PC=2CD，
∴∠CPD=30°，∠DCP=∠BCF=60°，
∴∠CFB=30°，
∴BF=$\sqrt{3}$BC，
∴△BCF不是“倍勾三角形”，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\sqrt{3}$．

（4）如圖3中，當(dāng)BC=2BF時，作FH⊥AB于H．

易證∠DCB=∠FBH，
∴tan∠DCB=tan∠FBH=$\frac{1}{2}$=$\frac{FH}{BH}$，設(shè)FH=x，BH=2x，
在Rt△BFH中，x²+（2x）²=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²，
解得x=$\frac{1}{2}$，
∴BH=1，
∴C、D、H、F共線，
易證△PDC∽△FDP，可得PD²=CD•DF=1，
∴PD=1，AP=AD-PD=1．
如圖4中，同法可以假設(shè)FH=x，BH=2x，

在Rt△BFH中，x²+（2x）²=（$\frac{1}{2}$$\sqrt{5}$）²，或x²+（2x）²=（2$\sqrt{5}$）²，
解得x=$\frac{1}{2}$或2，
設(shè)PB=y，由△CDP∽△PHF，
∴$\frac{CD}{PH}$=$\frac{DP}{FH}$，
∴$\frac{2}{1-y}$=$\frac{1+y}{\frac{1}{2}}$或$\frac{2}{4-y}$=$\frac{1+y}{2}$，
解得y=0或3，
∴AP=3或6，
綜上所述，滿足條件的AP的值為1或3或6．

點評 本題考查相似三角形綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、“倍勾三角形”的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．