Question

4．證明定理：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等．
已知：如圖，在△ABC中，分別作AB邊、BC邊的垂直平分線，兩線相交于點P，分別交AB邊、BC邊于點E、F．
求證：AB、BC、AC的垂直平分線相交于點P
證明：∵點P是AB邊垂直平線上的一點，
∴PB=PA（垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等）．
同理可得，PB=PC．
∴PA=PC（等量代換）．
∴點P在AC的垂直平分線上，（到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）
∴AB、BC、AC的垂直平分線相交于點P，且PA=PB=PC．

Answer 1

分析 根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得出PB=PA，同理可得出PA=PC，由此即可得出PA=PC，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得出點P是AC邊垂直平線上的一點，從而證出結(jié)論．

解答 證明：∵點P是AB邊垂直平線上的一點，
∴PB=PA （垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等）．
同理可得，PB=PC．
∴PA=PC（等量代換）．
∴點P是AC邊垂直平線上的一點（到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上），
∴AB、BC、AC的垂直平分線相交于點P，且PA=PB=PC．
故答案為：PB；PA；垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等；PC；PA；PC；點P在AC的垂直平分線上，垂直平分線上；PA=PB=PC．

點評 本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出點P是AC邊垂直平線上的一點．解決該題型題目時，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)找出相等的線段是關(guān)鍵．