Question

6．在等邊△ABC中，點D是線段BC的中點，∠EDF=120°，線段DE與線段AB相交于點E．線段DF與線段AC相交于點F．
（1）如圖一，若DF⊥AC，請直接寫出DE與AB的位置關系；
（2）請判斷DE與DF的數量關系．并寫出推理過程．
（3）如圖二，將（1）中的∠EDF繞點D順時針旋轉一定的角度，DF仍與線段AC相交于點F．（2）中的結論還成立嗎？若成立，寫出證明過程，若不成立，說明理由．
（4）在∠EDF繞點D順時針旋轉過程中，直接用等式表示線段BE、CF、AB之間的數量關系．

Answer 1

分析 （1）根據四邊形的內角和即可得到結論；
（2）根據全等三角形的判定與性質即可得到結論；
（3）連接AD，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如圖2，由點D是線段BC的中點，得到AD是∠BAC的角平分線，根據角平分線的性質得到DM=DN，根據全等三角形的性質即可得到結論；
（4）如圖2（a）中，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．根據全等三角形的性質得到BM=CN，DM=DN，ME=NF，于是得到結論．

解答 解：（1）∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
∵∠A=60°，∠EDF=120?，
∴∠AED=360°-∠A-∠AFD-∠EDF=90°，
∴DE⊥AB；

（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵點D是線段BC的中點，
∴BD=CD，
在△BDE與△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠CFD=90°}\\{∠B=∠C}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CFD，
∴DE=DF；

（3）（2）中的結論還成立連接AD，
過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如圖2，
∵點D是線段BC的中點，
∴AD是∠BAC的角平分線，
∴DM=DN，
∵∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°
∵∠A=60°，
∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．
∵∠EDF=120°，
∴∠MDE=∠NDF，
在△EMD和△FND中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EMD=∠FND}\\{DM=DN}\\{∠MDE=∠NDF}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△FND，
∴DE=DF；

（4）如圖2（a）中，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．
在△BDM與△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠BMD=∠DNC=90°}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△CDN，
∴BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN，
∴∠EDM=∠NDF，
在△DME與△DNF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EDM=∠FDN}\\{∠DME=∠DNF}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△EDM≌△FDN，
∴ME=NF，
∴BE+CF=BM+EM+NC-FN=2BM=BD=$\frac{1}{2}$AB；
如圖3，同理BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN，
∴∠EDM=∠NDF，
又∵∠EMD=∠FND=90°，
∴△EDM≌△FDN，
∴ME=NF，
∴BE-CF=BM+EM-（FN-CN）=2BM=BD=$\frac{1}{2}$AB，
綜上所述，線段BE、CF、AB之間的數量關系為：BE+CF=$\frac{1}{2}$AB或BE-CF=$\frac{1}{2}$AB．

點評 本題主要考查了等邊三角形的判定與性質、四邊形的內角和定理、全等三角形的判定與性質、三角函數的定義、特殊角的三角函數值等知識，通過證明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解決本題的關鍵．