Question

如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x相交于AB（點A點B左側(cè)），與Y相交于點C頂點為D
（1）直接寫出ABC點的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸；
（2）連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P線段BC一個動點，過點P作PF∥DE交拋物線于點F，設(shè)點P橫坐標(biāo)為m
①用含m代數(shù)式表示線段PF，并求出當(dāng)m何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？
②設(shè)△BCF的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)m取何值時，S有最大值，最大值是多少．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）已知了拋物線的解析式，當(dāng)y=0時可求出A，B兩點的坐標(biāo)，當(dāng)x=0時，可求出C點的坐標(biāo)．根據(jù)對稱軸x=-

b

2a

可得出對稱軸的解析式．
（2）①PF的長就是當(dāng)x=m時，拋物線的值與直線BC所在一次函數(shù)的值的差．可先根據(jù)B，C的坐標(biāo)求出BC所在直線的解析式，然后將m分別代入直線BC和拋物線的解析式中，求得出兩函數(shù)的值的差就是PF的長．根據(jù)直線BC的解析式，可得出E點的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式可求出D點的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)系中兩點的距離公式，可求出DE的長，然后讓PF=DE，即可求出此時m的值．
②可將三角形BCF分成兩部分來求：一部分是三角形PFC，以PF為底邊，以P的橫坐標(biāo)為高即可得出三角形PFC的面積．一部分是三角形PFB，以PF為底邊，以P、B兩點的橫坐標(biāo)差的絕對值為高，即可求出三角形PFB的面積．然后根據(jù)三角形BCF的面積=三角形PFC的面積+三角形PFB的面積，可求出關(guān)于S、m的函數(shù)關(guān)系式，由此可求出S的最大值．

解答：解：（1）設(shè)0=-x²+2x+3，
解得：x=-1或3，
∵拋物線y=-x²+2x+3與x相交于AB（點A點B左側(cè)），
∴A（-1，0），B（3，0），
∵拋物線與y軸相交于點C，
∴C（0，3），
∴拋物線的對稱軸是：直線x=1．                

（2）①設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b．
把B（3，0），C（0，3）分別代入得：

3k+b=0 b=3

，
解得：k=-1，b=3．
所以直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x+3．
當(dāng)x=1時，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
當(dāng)x=m時，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
在y=-x²+2x+3中，當(dāng)x=1時，y=4．
∴D（1，4）．
當(dāng)x=m時，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3）．
∴線段DE=4-2=2，線段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m．
∵PF∥DE，
ED時，四邊形PEDF為平行四邊形．
由-m²+3m=2，解得：m₁=2，m₂=1（不合題意，舍去）．
因此，當(dāng)m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形．   
②設(shè)直線PF X點M由B（3，0），O（0，0），
可得：OB=OM+MB=3．
∵S=S_△BPF+S_△CPF．
∴S=

1

2

PF×BM+

1

2

PF×OM=

1

2

PF×(BM+OM)=

1

2

PF×OB
∵S=

1

2

×3(-m2+3m)=-

3

2

m2+

9

2

m(0≤m≤3)．
∵S=-

3

2

(m-

3

2

)2+

27

8

∴當(dāng)m=

3

2

，S最大值=

27

8

．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)二次函數(shù)得出相關(guān)點的坐標(biāo)和對稱軸的解析式是解題的基礎(chǔ)，其中用到的知識點有平行四邊形的判定和性質(zhì)、解一元二次方程、用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式，三角形面積公式的運用．