Question

如圖，直線AD：y₁=k₁x+b₁過點(diǎn)A（0，4），D（4，0），直線BC：y₂=k₂x+b₂過點(diǎn)C（-2，0），且與直線AD交于點(diǎn)B，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為a．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求直線BC的解析式；
（2）在（1）的條件下，請(qǐng)直接寫出k₁x+b₁＞k₂x+b₂時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的取值范圍；
（3）設(shè)△ABC的面積為S，用含a的代數(shù)式表示S，并求出當(dāng)直線CB把△ACD的面積分為1：2的兩部分時(shí)，對(duì)應(yīng)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先求出直線AD的解析式，再求得B點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再代入求得直線BC的解析式；
（2）根據(jù)一次函數(shù)的增減性，并結(jié)合函數(shù)圖象可以求得不等式的解集；
（3）分三種情況分別求出△ABC的面積函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）由題意得：直線AD過點(diǎn)A（0，4），D（4，0），
∴

4=b1 0=4k1+b

解得：

k1=-1 b1=4

．
∴直線AD的解析式為y₁=-x+4
又因?yàn)辄c(diǎn)B在AD上，且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a=1，所以縱坐標(biāo)為3，即B（1，3）
由題意的直線BC過點(diǎn)B（1，3），C（-2，0）
∴

3=k2+b2 0=-2k2+b2

解得：

k2=1 b2=2

．
∴直線BC的解析式為y₂=x+2
（2）因?yàn)橹本�AD與直線BC相交于點(diǎn)B（1，3）
由圖象得：k₁x+b₁＞k₂x+b₂時(shí)x的取值范圍為x＜1．
（3）△ABC的面積計(jì)算有三種形式，分別為點(diǎn)B在點(diǎn)A上方、在AD中間、在點(diǎn)D下方．

①點(diǎn)B在點(diǎn)A上方，即a≤0時(shí)：S_△ABC=S_△BCO+S_△BAO-S_△ACO
∴S=

1

2

×2×（-a+4）+

1

2

×4×（-a）-

1

2

×2×4=-3a
②當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A和點(diǎn)D中間，即0＜a＜4時(shí)，：S_△ABC=S_△ACD-S_△BCD
∴S=

1

2

×6×4-

1

2

×6×（-a+4）=3a
③當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)D下方，即a≥4時(shí)，：S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD
∴S=

1

2

×6×4+

1

2

×6×（-（-a+4））=3a
綜上所述得：S=

-3a(a≤0) 3a(0＜a＜4) 3a(a≥4)

當(dāng)直線CB把△ACD的面積分為1：2兩部分時(shí)，即B點(diǎn)在點(diǎn)A和點(diǎn)D中間時(shí)．
此時(shí)S_△ABC=3a，S_△ACD=12．
當(dāng)S_△ABC：S_△ACD=1：3時(shí)，即3a：12=1：3，∴a=

4

3

；
當(dāng)S_△ABC：S_△ACD=2：3時(shí)，即3a：12=2：3，∴a=

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用．綜合性較強(qiáng)，注意第（3）題分三種情況分別求出△ABC的面積函數(shù)關(guān)系式．