Question

6．已知在菱形ABCD中，∠BAD=60°，P是形內(nèi)一點，且PD=1，PA=$\sqrt{3}$，PB=2，則PC=3．

Answer 1

分析 根據(jù)菱形的性質(zhì)得AD=AB=CD，而∠BAD=60°，則將△ABP繞點A逆時針性質(zhì)60°得△ADE，連結(jié)PE，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP=AE=$\sqrt{3}$，DE=PB=2，∠EAP=60°，∠AED=∠APB，則可判斷△AEP為等邊三角形，所以PE=AP=$\sqrt{3}$，∠APE=∠PEA=60°，于是可根據(jù)勾股定理判斷△PDE為直角三角形，∠DPE=90°，且∠DEP=30°，所以∠AED=90°=∠APB，利用周角為360°可計算出∠BPD=120°，加上∠BCD=60°，所以可判斷B、C、D、P四點共圓，連結(jié)BD，在PC上截取PF=PD=1，如圖，接著證明△BCD為等邊三角形得到∠DBC=∠BDC=60°，DB=DC，根據(jù)圓周角定理得∠DPC=∠DBC=60°，則可判斷△PDF為等邊三角形，得到∠PDF=60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，可把△DFC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DPB，則CF=PB=2，于是得到PC=PF+CF=3．

解答 解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD=AB=CD，
而∠BAD=60°，
將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△ADE，連結(jié)PE，如圖，
∴AP=AE=$\sqrt{3}$，DE=PB=2，∠EAP=60°，∠AED=∠APB，
∴△AEP為等邊三角形，
∴PE=AP=$\sqrt{3}$，∠APE=∠PEA=60°，
在△PDE中，∵PD=1，PE=$\sqrt{3}$，DE=2，
∴PD²+PE²=DE²，
∴△PDE為直角三角形，∠DPE=90°，
∴∠DEP=30°，
∴∠AED=30°+60°=90°，
∴∠APB=90°，
∴∠BPD=360°-90°-90°-60°=120°，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴∠BCD=60°，
∴∠BPD+∠BCD=180°，
∴B、C、D、P四點共圓，
連結(jié)BD，在PC上截取PF=PD=1，如圖，
∵四邊形ABCD為菱形，∠BCD=60°，
而CD=CB，
∴△BCD為等邊三角形，
∴∠DBC=∠BDC=60°，DB=DC，
∴∠DPC=∠DBC=60°，
∴△PDF為等邊三角形，
∴∠PDF=60°，
∴△DFC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°可得到△DPB，
∴CF=PB=2，
∴PC=PF+CF=1+2=3．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的逆定理．