Question

13．如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，C為弧AB上的動點，ON、OM分別與BC、AC垂直，垂足為N，M．過點N作NP⊥OM，垂足為P，則NP的長為（　　）

• A． 隨C點的運動而變化，NP的取值范圍是1≤NP≤$\sqrt{2}$
• B． 隨C點的運動而變化，最大值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• C． 等于$\sqrt{2}$
• D． 隨C點的運動而變化，沒有最值

Answer 1

分析 連結(jié)OC，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由OB=OC，ON⊥BC得到∠1=∠2，BN=CN，同理可得∠3=∠4，所以MON=45°，于是可判斷△ONP為等腰直角三角形，則NP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ON，根據(jù)勾股定理得ON=$\sqrt{{2}^{2}-\frac{1}{4}B{C}^{2}}$，易得$\sqrt{2}$≤ON≤2，所以1≤NP≤$\sqrt{2}$．

解答 解：連結(jié)OC，如圖，
∵OB=OC，ON⊥BC，
∴∠1=∠2，BN=CN，
同理可得∠3=∠4，
∴∠3+∠4=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°，即MON=45°，
∵NP⊥OM，
∴△ONP為等腰直角三角形，
∴NP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ON，
在Rt△OBN中，ON=$\sqrt{O{B}^{2}-B{N}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-\frac{1}{4}B{C}^{2}}$，
當點C在點B時，ON=2，當點C在點A時，BC=$\sqrt{2}$OB=2$\sqrt{2}$，則ON=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$≤ON≤2，
∴1≤NP≤$\sqrt{2}$．
故選A．

點評 本題考查了軌跡：點按運動規(guī)律運動所形成的圖形叫點運動的軌跡，利用幾何性質(zhì)探討運動過程中的變化規(guī)律．