Question

14．數(shù)學活動-探究線段之間的關(guān)系．問題情境：
活動課上，小穎向同學們提出一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BA，DA的延長線上，且AE=AF，連接EF，BF，DE，M是DE的中點，連接AM．判斷線段AM與BF之間的數(shù)量關(guān)系．并說明理由．
獨立思考：
（1）請你解答小穎提出的問題
合作交流：
（2）解決完（1）之后，小彬?qū)ⅰ鰽EF從圖1的位置開始繞點A順時針旋轉(zhuǎn)（其余條件不變），當旋轉(zhuǎn)角小于90°時（如圖2），小彬猜想（1）中的結(jié)論仍然成立．為證明這一猜想，同學們展開討論，大家發(fā)現(xiàn)需要構(gòu)造與AM，BF有關(guān)的“新”線段．請你參考同學們的思路證明小彬的猜想．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=AD，∠DAB=∠FAB=∠EAD=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BF=DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）如圖2，延長AM到G，使AM=MG，連接EG，推出四邊形EADG是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到DG=AE=AF，∠EAD+∠ADG=180°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）結(jié)論：AM=$\frac{1}{2}$BF．
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=∠FAB=∠EAD=90°，
在△ABF和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAF=∠EAD}\\{AF=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADE，
∴BF=DE，
在Rt△AED中，∵EM=MD，
∴AM=$\frac{1}{2}$DE，
∴AM=$\frac{1}{2}$BF；
（2）如圖2，延長AM到G，使AM=MG，連接EG，
∵EM=MD，AM=MG，
∴四邊形EADG是平行四邊形，
∴DG=AE=AF，∠EAD+∠ADG=180°，AM=$\frac{1}{2}$AG，
∵∠FAB+∠EAD=180°，
∴∠FAB=∠ADG，
在△FAB與△GDA中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠FAB=∠ADG}\\{DG=AF}\end{array}\right.$，
∴△FAB≌△GDA，
∴AG=FB，
∴AM=$\frac{1}{2}$BF．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵，