Question

15．如圖，已知等邊△ABC，點(diǎn)D在AC的外側(cè)，將BD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至BF，點(diǎn)F與點(diǎn)D相對(duì)應(yīng)，連接AF，AD，AD=2，∠CBD=15°，∠AFB=30°，則AF的長為$\sqrt{6}-\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 通過作輔助線得到等邊三角形，由角的度數(shù)知道EF是角的平分線，根據(jù)三線合一得到線段的垂直平分線，于是得到△DAB是等腰直角三角形，求得DE，AE的長度，也就求出了DF，再由勾股定理求得EF，從而求出AF．

解答 解：連接DF，延長FA交BD于E，
∵BD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至BF，
∴BD=BF，∠DBF=60°，
∴△BDF是等邊三角形，
∴∠BFD=60°，
∵∠BFA=30°，
∴∠DFA=30°，
∴FE垂直平分BD，
∴AD=AB，∵∠ABC=60°∠CBD=15°，
∴∠ABD=45°，
∴△DAB是等腰直角三角形，
∴DE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\sqrt{2}$，
∴BD=DF=2$\sqrt{2}$，
∴EF=$\sqrt{{DF}^{2}{-DE}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴AF=EF-AE=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
故答案：$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)三線合一，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．