Question

12．已知：直線l₁：y=kx+b（k＞0）過(guò)點(diǎn)F（-4，4），直線l₁與過(guò)點(diǎn)（-2，4）的反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x₁，y₁），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x₂，y₂）（x₂＜x₁＜0）
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若過(guò)A作AC⊥x軸于C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸于D，交AC于點(diǎn)E，AE=4$\sqrt{2}$，試求直線l₁的解析式；
（3）如圖2，把直線l₁繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)，這條動(dòng)直線始終與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的圖象交于P、Q兩點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別作x軸的平行線，在這兩條平行線上（P、Q兩點(diǎn)的右側(cè)如圖所示）分別截取PM=PF，QN=QF，連接MN并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)H．試問(wèn)∠MHO的大小是否隨著直線l₁的旋轉(zhuǎn)變化而變化，請(qǐng)作出判斷并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出結(jié)論；
（2）將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入直線l₁的解析式中找出k、b的關(guān)系，再將反比例函數(shù)解析式x=-$\frac{8}{y}$代入直線l₁的解析式中，由根與系數(shù)的關(guān)系找出y₁+y₂=4k+4，y₁•y₂=8k，結(jié)合AE=4$\sqrt{2}$，即可得出關(guān)于k的方程，解方程即可得出結(jié)論；
（3）由點(diǎn)P、Q在直線l₁上，可找出x₁、y₁以及x₂、y₂之間的關(guān)系，由PM=PF，QN=QF找出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線，交QN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，分別找出MK、NK，由二者間的關(guān)系即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的圖象過(guò)點(diǎn)（-2，4），
∴k=-2×4=-8，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{8}{x}$．
（2）直線l₁：y=kx+b（k＞0）過(guò)點(diǎn)F（-4，4），
∴4=-4k+b，即b=4k+4，
∴直線l₁：y=kx+4k+4（k＞0）．
將x=-$\frac{8}{y}$代入到y(tǒng)=kx+4k+4中，整理得：y²-（4k+4）y+8k=0，
∴y₁+y₂=4k+4，y₁•y₂=8k，
∴y₁-y₂=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}•{y}_{2}}$=$\sqrt{（4k+4）^{2}-32k}$=4$\sqrt{2}$，
解得：k=1或k=-1（舍去），
∴直線l₁的解析式為y=x+8．
（3）∵直線l₁：y=kx+4k+4（k＞0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₂＜x₁＜0），
∴y₁=kx₁+4k+4，y₂=kx₂+4k+4，
PF=PM=$\sqrt{（{x}_{1}+4）^{2}+（{y}_{1}-4）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+4）^{2}+（k{x}_{1}+4k）^{2}}$=（x₁+4）$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
QF=QN=$\sqrt{（{x}_{2}+4）^{2}+（{y}_{2}-4）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{2}+4）^{2}+（k{x}_{2}+4k）^{2}}$=-（x₂+4）$\sqrt{1+{k}^{2}}$．
∴M[x₁+（x₁+4）$\sqrt{1+{k}^{2}}$，y₁]，N[x₂-（x₂+4）$\sqrt{1+{k}^{2}}$，y₂]．
過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線，交QN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，如圖所示．
則MK=y₁-y₂，NK=（x₁-x₂）+（x₁+4）$\sqrt{1+{k}^{2}}$+（x₂+4）$\sqrt{1+{k}^{2}}$=（x₁-x₂）+（x₁+x₂+8）$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
將y=-$\frac{8}{x}$代入y=kx+4k+4中，整理得：kx²+（4k+4）x+8=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4k+4}{k}$，x₁•x₂=$\frac{8}{k}$，
∴x₁-x₂=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{4k+4}{k}）^{2}-4×\frac{8}{k}}$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{k}$，
NK=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{k}$+（-$\frac{4k+4}{k}$+8）$\sqrt{1+{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{k}$+$\frac{4k-4}{k}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
MK=y₁-y₂=k（x₁-x₂）=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
故MK=NK，
∴直線MN與x軸的夾角∠MHO為定值45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、根與系數(shù)的關(guān)系以及兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是：（1）利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出k值；（2）得出關(guān)于k的方程；（3）找出MK=NK．本題屬于中檔題，難度不小，解決該題型題目時(shí)，巧妙的利用線段相等找出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，再將反比例函數(shù)解析式代入一次函數(shù)解析式中利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出來(lái)線段的長(zhǎng)度是關(guān)鍵．