Question

【題目】如圖，是⊙的直徑，為⊙的弦，⊥，與的延長線交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，且∠＝∠．

（1）求證：為⊙的切線；

（2）若＝2，＝，則線段的長為 ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OB，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠ABD＝90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和已知條件證出∠OBC＝90°，即可得出結(jié)論；

（2）證明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的長．

（1）證明：連結(jié)．

∵為直徑，為的弦，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

∵為半徑，

∴為切線．

（2）∵OA＝2，

∴AD＝2OA＝4，

∵OP⊥AD，

∴∠POA＝90°，

∴∠P+∠A＝90°，

∴∠P＝∠D，

∵∠A＝∠A，

∴△AOP∽△ABD，

∴＝，即＝，

解得：BP＝，

故答案為：．