Question

19．如圖，在⊙O中．弦CD與直徑AB相交于點E，且∠AEC=30°，AE=1cm，BE=5cm．求：
（1）點O到CD的距離；
（2）弦CD的長．

Answer 1

分析 （1）因為∠AED=30°，可過點O作OF⊥CD于F，構(gòu)成直角三角形，先求得⊙O的半徑為3cm，進而求得OE=3-1=2，然后根據(jù)含30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求得OF=1cm；
（2）根據(jù)勾股定理求得DF的長，然后由垂徑定理求出CD的長．

解答 解：（1）過點O作OF⊥CD于F，連接DO，
∵AE=1cm，BE=5cm，
∴AB=6cm，
∴⊙O的半徑為3cm，
∴OE=3-1=2cm．
∵∠AEC=30°，
∴∠OEF=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OE=1（cm）；
故點O到CD的距離為1cm；
（2）∵OF=1cm，
∴DF=$\sqrt{O{D}^{2}-O{F}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
由垂徑定理得：CD=2DF=4$\sqrt{2}$．
故CD的長為4$\sqrt{2}$cm．

點評 考查了勾股定理，垂徑定理和含30度角的直角三角形．有關(guān)弦、半徑、弦心距的問題常常利用它們構(gòu)造的直角三角形來研究，所以連半徑、作弦心距是圓中的一種常見輔助線添法．