Question

12．如圖，四邊形ABCD中，已知AB=CD，點(diǎn)E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA、CD，分別交射線FE于P、Q兩點(diǎn)．求證：∠BPF=∠CQF．

Answer 1

分析 如圖，連接BD，作BD的中點(diǎn)M，連接FM、EM．利用三角形中位線定理證得△EMF是等腰三角形，則∠MEF=∠MFE．利用三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)推知∠MEF=∠P，∠MFE=∠CQF．根據(jù)等量代換證得∠P=∠CQF．

解答 證明：如圖，連接BD，作BD的中點(diǎn)M，連接EM、FM．
∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，
∴在△ABD中，EM∥AB，EM=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠MEF=∠P
同理可證：FM∥CD，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}$CD．
∴∠MFQ=∠CQF，
又∵AB=CD，
∴EM=FM，
∴∠MEF=∠MFE，
∴∠P=∠CQF．．

點(diǎn)評(píng) 此題考查的是三角形中位線的性質(zhì)、等腰三角形判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是題目中出現(xiàn)中點(diǎn)的條件想到添加三角形的中位線作為輔助線，屬于中考�？碱}型．