Question

17．已知關(guān)于x的方程x²+mx+m-2=0．
（1）求證：無(wú)論m取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)方程兩實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂，且滿(mǎn)足x₁²+x₂²=-3x₁x₂，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）先計(jì)算△=m²-4（m-2）=m²-4m+8，配方得到△=（m-2）²+4，由于（m-2）²≥0，則（m-2）²+4＞0，即△＞0，根據(jù)△的意義即可得到無(wú)論m取何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合等式x₁²+x₂²=-3x₁x₂即可求解．

解答 （1）證明：∵△=m²-4×1×（m-2）=m²-4m+8=（m-2）²+4＞0，
∴不論m取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 

（2）解：x₁+x₂=-m，x₁x₂=m-2，
∵x₁²+x₂²=-3x₁x₂，
∴${{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}$-2x₁ x₂=-3x₁ x₂
∴${{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}$=-x₁ x₂
∴m²=2-m，
∴m²+m-2=0，
∴（m+2）（m-1）=0，
∴m=-2或1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，能夠綜合運(yùn)用公式是解答此題的關(guān)鍵．