Question

2．如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，在AC，BC邊上各取一點(diǎn)E，F(xiàn)，使AE=CF，連接AF，BE相交于點(diǎn)P．
（1）求證：AF=BE，并求∠APB的度數(shù)；
（2）若AE=2，試求AP•AF的值．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC，∠C=∠CAB，然后依據(jù)SAS可證明△ABE≌△CAF，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到∠ABE=∠CAF，最后，再依據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求解即可；
（2）先證明△APE∽△ACF，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AE}{AF}$，從而可得到問(wèn)題的答案．

解答 解：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，
在△ABE和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠C=∠CAB}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAF，
∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，
∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°，
∴∠APB=180°-∠APE=120°　
（2）∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，
∴△APE∽△ACF，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AE}{AF}$，即$\frac{AP}{6}$=$\frac{2}{AF}$，
∴AP•AF=12．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．