Question

1．如圖1，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為A（a，0），B（n，0）且a、n滿足|a+2|+$\sqrt{5-n}$=0，現(xiàn)同時將點A，B分別向上平移4個單位，再向右平移3個單位，分別得到點A，B的對應(yīng)點C，D，連接AC，BD，CD．
（1）求點C，D的坐標及四邊形OBDC的面積；
（2）如圖2，若 點P是線段BD上的一個動點，連接PC，PO，當點P在BD上移動時（不與B，D重合）$\frac{∠DCP+∠BOP}{∠CPO}$的值是否發(fā)生變化，并說明理由．
（3）在四邊形OBDC內(nèi)是否存在一點P，連接PO，PB，PC，PD，使S_△PCD=S_△PBD； S_△POB：S_△POC=1？若存在這樣一點，求出點P的坐標，若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)被開方數(shù)和絕對值大于等于0列式求出b和n，從而得到A、B的坐標，再根據(jù)向上平移4個單位，則縱坐標加4，向右平移3個單位，則橫坐標加3，求出點C、D的坐標即可，然后利用平行四邊形的面積公式，列式計算；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)可得AB∥CD，再過點P作PE∥AB，根據(jù)平行公理可得PE∥CD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，然后求出∠CPO=∠DCP+∠BOP，從而判斷出比值不變；
（3）根據(jù)面積相等的特殊性可知，點P為平行四邊形ABCD對角線的交點，即PB=PC，因此根據(jù)中點可求出點P的坐標．

解答 解：（1）如圖1，
由題意得，a+2=0，a=-2，則A（-2，0），
5-n=0，n=5，則B（5，0），
∵點A，B分別向上平移4個單位，再向右平移3個單位，
∴點C（1，4），D（8，4）；
∵OB=5，CD=8-1=7，
∴S_{四邊形OBDC}=$\frac{1}{2}$（CD+OB）×h=$\frac{1}{2}$×4×（5+7）=24；
（2）$\frac{∠DCP+∠BOP}{∠CPO}$的值不發(fā)生變化，且值為1，理由是：
由平移的性質(zhì)可得AB∥CD，
如圖2，過點P作PE∥AB，交AC于E，則PE∥CD，
∴∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，
∴∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP，
∴$\frac{∠DCP+∠BOP}{∠CPO}$=1，比值不變．

（3）存在，如圖3，連接AD和BC交于點P，
∵AB=CD，AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BP=CP，
∴S_△PCD=S_△PBD； S_△POB：S_△POC=1，
∵C（1，4），B（5，0）
∴P（3，2）．

點評 本題是幾何變換的綜合題，考查了線段平移與點的坐標的關(guān)系，明確點的坐標的平移原則：①上移→縱+，②下移→縱-，③左移→橫-，④右移→橫+；同時對于面積的關(guān)系除了熟記面積公式外，要知道三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個三角形；第二問中角的比值的證明，在幾何中很少出現(xiàn)，不過此題分子與分母中角的大小相等，屬于平行線的性質(zhì)得出的結(jié)論．