Question

7．如圖1，直線y=$\frac{3}{4}$x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒0.8個(gè)單位的速度沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作直線AB的平行線交y軸于點(diǎn)C．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜5）秒．
（1）問在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形APCQ是何種特殊的四邊形？并證明你的結(jié)論．
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形APCQ是菱形？
（3）如圖2，點(diǎn)D在動(dòng)點(diǎn)Q右側(cè)的x軸上，且始終滿足QD=1，點(diǎn)M在直線AB上，其橫坐標(biāo)為-3，問當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形MQDB的周長(zhǎng)最�。孔钚≈凳嵌嗌�？

Answer 1

分析 （1）由△ABO∽△QCO，推出$\frac{AB}{QC}$=$\frac{AO}{QO}$，推出$\frac{5}{QC}$=$\frac{4}{0.8t}$，推出QC=t，由AP=t，可得AP=QC，AP∥QC，即可證明．
（2）當(dāng)四邊形式APCQ是菱形時(shí)，則有AP=AQ，則可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；
（3）如圖2中，由題意M（-3，$\frac{3}{4}$），將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位得到M′（-2，$\frac{3}{4}$），作點(diǎn)M′關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)M″（-2，-$\frac{3}{4}$），連接BM″交OA于D，此時(shí)四邊形MQDB的周長(zhǎng)最短，求出直線BM″的解析式，可得點(diǎn)D坐標(biāo)，由此即可解決問題．

解答 解：（1）結(jié)論：四邊形APCQ是平行四邊形．理由如下：
∵直線y=$\frac{3}{4}$x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，
∴A（-4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
∵QC∥AB，
∴△ABO∽△QCO，
∴$\frac{AB}{QC}$=$\frac{AO}{QO}$，
∴$\frac{5}{QC}$=$\frac{4}{0.8t}$，
∴QC=t，
∵AP=t，
∴AP=QC，∵AP∥QC，
∴四邊形APCQ是平行四邊形．

（2）∵四邊形APCQ是平行四邊形，
∴當(dāng)AP=AQ時(shí)，四邊形APCQ是菱形，
∴t=4-0.8t，
∴t=$\frac{20}{9}$s，
∴當(dāng)t為$\frac{20}{9}$s時(shí)，四邊形APCQ是菱形．

（3）如圖2中，由題意M（-3，$\frac{3}{4}$），

將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位得到M′（-2，$\frac{3}{4}$），作點(diǎn)M′關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)M″（-2，-$\frac{3}{4}$），連接BM″交OA于D，此時(shí)四邊形MQDB的周長(zhǎng)最短，
設(shè)直線BM″的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{-2k+b=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{15}{8}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BM″的解析式為y=$\frac{15}{8}$x+3，令y=0得到x=-$\frac{8}{5}$，
∴D（-$\frac{8}{5}$，0），
∴OQ=1+$\frac{8}{5}$=$\frac{13}{5}$，
∴t=$\frac{13}{5}$÷0.8=$\frac{13}{4}$s，
四邊形MQDB的周長(zhǎng)的最小值=MQ+QD+DB+BM
=DQ+DM′+BD+BM
=QD+M″D+DB+BM
=QD+BM″+BM
=1+$\sqrt{{2}^{2}+（3+\frac{3}{4}）^{2}}$+$\sqrt{{3}^{2}+（3-\frac{3}{4}）^{2}}$
=1+$\frac{17}{4}$+$\frac{15}{4}$=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用對(duì)稱、平移等知識(shí)解決最短問題，屬于中考?jí)狠S題．