Question

15．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，點D是BC邊的中點，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上．且DE⊥DF．
求證：BE²+CF²=EF²．

Answer 1

分析 連接AD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=BD，AD⊥BC，∠B=∠DAF=45°，再求出∠BDE=∠ADF，然后利用“角邊角”證明△BDE和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=AF，再求出AE=CF，然后利用勾股定理列式即可得證．

解答 證明：如圖，連接AD，
∵AB=AC，∠A=90°，點D是BC邊的中點，
∴AD=BD，AD⊥BC，∠B=∠DAF=45°，
∵DE⊥DF，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
又∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠ADF}\\{AD=BD}\\{∠B=∠DAF=45°}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF，
∵AB=AC，
∴AB-BE=AC-AF，
即AE=CF，
在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理得，AF²+AE²=EF²，
∴BE²+CF²=EF²．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握三角形全等的判定方法并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．