Question

2．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{12}$x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．若點(diǎn)P是線段AC上方的拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)△ACP的面積取得最大值時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（　�。�

• A． （4，3）
• B． （5，$\frac{35}{12}$）
• C． （4，$\frac{35}{12}$）
• D． （5，3）

Answer 1

分析 連接PC、PO、PA，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，-$\frac{1}{12}{m}^{2}+\frac{2}{3}m+\frac{5}{3}$），根據(jù)S_△PAC=S_△PCO+S_△POA-S_△AOC構(gòu)建二次函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)即可解決問題．

解答 解：連接PC、PO、PA，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，-$\frac{1}{12}{m}^{2}+\frac{2}{3}m+\frac{5}{3}$）
令x=0，則y=$\frac{5}{3}$，點(diǎn)C坐標(biāo)（0，$\frac{5}{3}$），
令y=0則-$\frac{1}{12}$x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$=0，解得x=-2或10，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)（10，0），點(diǎn)B坐標(biāo)（-2，0），
∴S_△PAC=S_△PCO+S_△POA-S_△AOC=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{3}$×m+$\frac{1}{2}$×10×（-$\frac{1}{12}{m}^{2}+\frac{2}{3}m+\frac{5}{3}$）-$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{3}$×10=-$\frac{5}{12}$（m-5）²+$\frac{125}{12}$，
∴x=5時，△PAC面積最大值為$\frac{125}{12}$，
此時點(diǎn)P坐標(biāo)（5，$\frac{35}{12}$）．
故點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，$\frac{35}{12}$）．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、拋物線與x軸交點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題，屬于中考�？碱}型．