Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A為（8，0），B是線段OA上的一點(diǎn)，點(diǎn)C在第一象限，CB⊥OA于點(diǎn)B，且CB=5，D為CB上一點(diǎn)，BD=2，設(shè)OB=a，經(jīng)過點(diǎn)D的雙曲線y=

k

x

交線段AD、OC于點(diǎn)E，F(xiàn)，當(dāng)E為AD中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：根據(jù)A坐標(biāo)，CB垂直于OA，且CB，BD，以及OB，表示出B，C，D坐標(biāo)，根據(jù)E為AD中點(diǎn)，利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出E坐標(biāo)，由D、E在反比例函數(shù)圖象上，將D、E坐標(biāo)代入反比例解析式分別表示出k，消去k得到關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出C坐標(biāo)，得出反比例解析式，進(jìn)而確定出直線OC解析式，兩解析式聯(lián)立消去y求出x的值，進(jìn)而求出y的值，即為F坐標(biāo)．

解答：解：∵A（8，0），CB⊥OA，CB=5，BD=2，OB=a，
∴B（a，0），C（a，5），D（a，2），
∵E為AD的中點(diǎn)，
∴E（

8+a

2

，1），
∵D、E在雙曲線y=

k

x

上，
∴將D坐標(biāo)代入雙曲線解析式得：2=

k

a

，即k=2a，
將E坐標(biāo)代入雙曲線解析式得：1=

k

8+a 2

，即k=

8+a

2

，
∴2a=

8+a

2

，
解得：a=

8

3

，
∴k=2a=

16

3

，
∴C（

8

3

，5），
∴雙曲線解析式為y=

16

3x

①，
設(shè)直線OC解析式為y=mx，
將C坐標(biāo)代入得：5=

8

3

m，即m=

15

8

，
∴直線OC解析式為y=

15

8

x②，
聯(lián)立①②，消去y得：

16

3x

=

15

8

x，即x²=

128

45

，
解得：x₁=

8 10

15

，x₂=-

8 10

15

（C在第一象限，故舍去），
∴y=

15

8

×

8 10

15

=

10

，
則F坐標(biāo)為（

8 10

15

，

10

）．

點(diǎn)評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．