Question

3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是∠ABC的角平分線(xiàn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O．
（1）求證：AB是⊙O的切線(xiàn)．
（2）已知AO交⊙O于點(diǎn)E，AE：AC=1：2，⊙O的半徑為3，求AE的長(zhǎng)．
（3）在（2）的條件下，延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D，求△ACD的面積．

Answer 1

分析 （1）作OF⊥AB于F，如圖，先根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理得到OF=OC，然后根據(jù)切線(xiàn)的判定定理可判斷AB是⊙O的切線(xiàn)；
（2）設(shè)AE=x，則AC=2x，利用勾股定理得到3²+（2x）²=（x+3）²，然后解方程求出x即可得到AE的長(zhǎng)；
（3）作CH⊥OA于H，如圖，利用面積法求出CH，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算△ACD的面積．

解答 （1）證明：作OF⊥AB于F，如圖，
∵AO是∠ABC的角平分線(xiàn)，
而OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OF=OC，
而OC為圓的半徑，
∴AB是⊙O的切線(xiàn)；
（2）解：設(shè)AE=x，則AC=2x，
在Rt△AOC中，∵OC²+AC²=OA²，
∴3²+（2x）²=（x+3）²，解得x₁=0（舍去），x₂=2，
∴AE=2；
（3）作CH⊥OA于H，如圖，
∵$\frac{1}{2}$CH•OA=$\frac{1}{2}$AC•OC，
∴CH=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴△ACD的面積=$\frac{1}{2}$•AD•CH=$\frac{1}{2}$×8×$\frac{12}{5}$=$\frac{48}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線(xiàn)的判定方法和角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理；會(huì)運(yùn)用勾股定理計(jì)算線(xiàn)段的長(zhǎng)．