Question

15．已知平行于y軸的直線x=t，與直線y=x和直線y=-$\frac{1}{2}$x+2分別交于點(diǎn)D、E（E在D的上方）．
（1）用含t的代數(shù)式表示D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫出t的取值范圍；
（2）若P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，且△PDE是等腰直角三角形，求t的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 將x=t代入解析式，得到y(tǒng)與t的關(guān)系式，然后根據(jù)直線在y軸的左側(cè)和在y軸的右側(cè)兩種情況并以不同邊為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出t的值，進(jìn)而求出各點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：當(dāng)x=t時(shí)，y=x=t；
當(dāng)x=t時(shí)，y=-$\frac{1}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$t+2．
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-$\frac{1}{2}$t+2），D點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t）．
∵E在D的上方，
∴DE=-$\frac{1}{2}$t+2-t=-$\frac{3}{2}$t+2，且t＜$\frac{4}{3}$．
∵△PDE為等腰直角三角形，
∴PE=DE或PD=DE或PE=PD．
若t＞0，PE=DE時(shí)，-$\frac{3}{2}$t+2=t，
∴t=$\frac{4}{5}$，-$\frac{1}{2}$t+2=$\frac{8}{5}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{8}{5}$）．
若t＞0，PD=DE時(shí)，-$\frac{3}{2}$t+2=t，
∴t=$\frac{4}{5}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{4}{5}$）．
若t＞0，PE=PD時(shí)，即DE為斜邊，
∴-$\frac{3}{2}$t+2=2t
∴t=$\frac{4}{7}$，DE的中點(diǎn)坐標(biāo)為（t，$\frac{1}{4}$t+1），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{8}{7}$）．
若t＜0，PE=DE和PD=DE時(shí)，由已知得DE=-t，-$\frac{3}{2}$t+2=-t，t=4＞0（不符合題意，舍去），
此時(shí)直線x=t不存在．
若t＜0，PE=PD時(shí)，即DE為斜邊，由已知得DE=-2t，-$\frac{3}{2}$t+2=-2t，
∴t=-4，$\frac{1}{4}$t+1=0，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）．
綜上所述：當(dāng)t=$\frac{4}{5}$時(shí)，△PDE為等腰直角三角形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{8}{5}$）或（0，$\frac{4}{5}$）；
當(dāng)t=$\frac{4}{7}$時(shí)，△PDE為等腰直角三角形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0$\frac{8}{7}$）；
當(dāng)t=-4時(shí)，△PDE為等腰直角三角形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題難度很大，涉及變量較多，解答時(shí)需要將x轉(zhuǎn)化為t，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理，由于情況較多，容易造成漏解，故解答時(shí)要仔細(xì)．