Question

17．如圖所示，四邊形ABDC中，AD同時(shí)平分∠BAC和∠BDC，問：B，C兩點(diǎn)是否關(guān)于直線AD對(duì)稱？請(qǐng)證明．

Answer 1

分析 根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出AB=AC，BD=CD，根據(jù)線段垂直平分線的判定得到點(diǎn)A，點(diǎn)D在BC的垂直平分線上，于是得到直線AD是線段BC的對(duì)稱軸，進(jìn)而判斷B，C兩點(diǎn)關(guān)于直線AD對(duì)稱即可．

解答 解：B，C兩點(diǎn)關(guān)于直線AD對(duì)稱，
理由：∵AD同時(shí)平分∠BAC和∠BDC，
∴∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，
在△ABD與△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CAD}\\{AD=AD}\\{∠BDA=∠CDA}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB=AC，BD=CD，
∴點(diǎn)A，點(diǎn)D在BC的垂直平分線上，
∴AD垂直平分BC，
∴直線AD是線段BC的對(duì)稱軸，
∴B，C兩點(diǎn)是關(guān)于直線AD對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．