Question

12．如圖，已知四邊形ABCD中，∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC且E在DC上．
（1）求證：DE=EC；
（2）求∠AEB；
（3）求證：AD+BC=AB．

Answer 1

分析 （1）過E作EF⊥AB于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出EF=DE，EF=CE即可；
（2）延長AE、BC交于點M，求出∠DAE=∠CME，AB=BM，根據(jù)ASA推出△ADE≌△MCE，根據(jù)全等得出AE=EM，∠DAE=∠M，求出∠M=∠BAE，推出AB=BM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可；
（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AD=CM，即可得出答案．

解答 （1）證明：過E作EF⊥AB于F，
∵∠D=∠C=90°，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC
∴EF=DE=CE，
即DE=CE；
（2）解：延長AE、BC交于點M，
∵AD∥BC
∴∠DAE=∠CME，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAM，
∴∠BAM=∠CME，
∴AB=BM，
在△ADE和△MCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECM}\\{DE=CE}\\{∠AED=∠CEM}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△MCE，
∴AE=EM，∠DAE=∠M
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠M=∠BAE，
∴AB=BM，
∵AE=EM，
∴BE⊥AM，
∴∠AEB=90°；
（3）證明：∵△ADE≌△MCE，
∴AD=CM，
∵AB=BM，BM=BC+CM，
∴AD+BC=AB．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．