Question

8．如圖，已知四邊形ABCD中，∠A+∠DCB=180°，兩組對(duì)邊延長(zhǎng)后，分別交于P、Q兩點(diǎn)，∠APD、∠AQB的平分線交于M，求證：PM⊥QM．

Answer 1

分析 連接PQ，由三角形內(nèi)角和定理可得出∠QCP=180°-∠1-∠2，∠A=180°-∠AQP-∠APQ=180°-∠1-∠2-∠AQB-∠APD，再根據(jù)∠APD、∠AQB的平分線交于點(diǎn)M可知∠AQB=2∠3，∠APD=2∠4，再由三角形外角的性質(zhì)可得出∠QMP=$\frac{1}{2}$（∠BCD+∠A），進(jìn)而得出結(jié)論．

解答 證明：連接PQ，
∵∠QCP=180°-∠1-∠2，
∠A=180°-∠AQP-∠APQ=180°-∠1-∠2-∠AQB-∠APD，
又∵∠APD、∠AQB的平分線交于點(diǎn)M，
∴∠AQB=2∠3，∠APD=2∠4，
∴∠QCP+∠A=（180°-∠1-∠2）+（180°-∠1-∠2-2∠3-2∠4）
=360°-2∠1-2∠2-2∠3-2∠4，
∴$\frac{1}{2}$（∠QCP+∠A）=180°-∠1-∠2-∠3-∠4，
又∵∠BCD=∠QCP，
∴$\frac{1}{2}$（∠BCD+∠A）=180°-∠1-∠2-∠3-∠4，
又∵∠QMP=180°-∠MQP-∠MPQ=180°-∠1-∠3-∠2-∠4，
∴∠QMP=$\frac{1}{2}$（∠BCD+∠A）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，即PM⊥QM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是多邊形內(nèi)角與外角，三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．