Question

14．在△ABC和△DEC中，∠A=∠EDC=45°，∠ACB=∠DCE=30°，點(diǎn)DC在A(yíng)C上，點(diǎn)B和點(diǎn)E在A(yíng)C兩側(cè)，AB=5，$\frac{DC}{AC}$=$\frac{2}{5}$．
（1）求CE的長(zhǎng)；
（2）如圖2，點(diǎn)F和點(diǎn)E在A(yíng)C同側(cè)，∠FAD=∠FDA=15°．
①求證：AB=DF+DE；
②連接BE，直接寫(xiě)出△BEF的面積．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)E作EN⊥DC于點(diǎn)N，證明△ABC∽△DEC．得出對(duì)應(yīng)邊成比例$\frac{DE}{AB}=\frac{DC}{AC}$，求DE，再在△DEC中，由∠EDC=45°，∠DCE=30°，求出DN=EN=$\sqrt{2}$，即可得出CE=2EN=$\sqrt{2}$DE=2$\sqrt{2}$；
（2）①過(guò)點(diǎn)F作FM⊥FD交AB于點(diǎn)M，連接MD，先證明△AMF為等邊三角形，得出FM=AF=FD=AM，得出∠FMD=∠FDM=45°，再證出MD∥BC，得出比例式求出MB=DE，即可得出結(jié)論；
②由三角形的面積公式=$\frac{1}{2}$absinC，分別求出五邊形ABCEF的面積、△ABF的面積、△BCE的面積，△BEF的面積=五邊形ABCEF的面積-△ABF的面積-△BCE的面積，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)E作EN⊥DC于點(diǎn)N，如圖1所示：
在△ABC和△DEC中，
∵∠A=∠EDC，∠ACB=∠DCE，
∴△ABC∽△DEC．
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{DC}{AC}$，
∵AB=5，$\frac{DC}{AC}$=25，
∴DE=2．
在△DEC中，∠EDC=45°，∠DCE=30°，
∴DN=EN=$\sqrt{2}$，CE=2EN=$\sqrt{2}$DE，CN=$\sqrt{3}$EN=$\sqrt{6}$，
∴CE=2$\sqrt{2}$．

（2）①證明：過(guò)點(diǎn)F作FM⊥FD交AB于點(diǎn)M，連接MD，如圖2所示：
∵∠FAD=∠FDA=15°，
∴AF=DF，∠AFD=150°．
∴∠AFM=60°．
∵∠MAF=∠BAC+∠DAF=60°，
∴△AMF為等邊三角形．
∴FM=AF=FD=AM，
∴∠FMD=∠FDM=45°．
∴∠AMD=105°=∠ABC．
∴MD∥BC，
∴$\frac{MB}{DC}=\frac{AB}{AC}$．
由（1）知：$\frac{DE}{DC}=\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{MB}{DC}=\frac{DE}{DC}$，
∴MB=DE．
∴AB=DF+DE．
②由①得：DF=AB-DE=3，
∴FM=FD=AM=3，
∴MD=3$\sqrt{2}$，
∵M(jìn)D∥BC，
∴MD：BC=AM：AB，
即3$\sqrt{2}$：BC=3：5，
∴BC=5$\sqrt{2}$，
∵DC：AC=2：5，CD=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∴AC=$\frac{5（\sqrt{2}+\sqrt{6}）}{2}$，
∵△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×AB×ACsin45°=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{5（\sqrt{2}+\sqrt{6}）}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{25+25\sqrt{3}}{4}$，
△ADF的面積=$\frac{1}{2}$×AF×DFsin150°=$\frac{1}{2}$×3×3×$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{4}$，
△CDE的面積=$\frac{1}{2}$×CD×CEsin30°=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）×2$\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$=1+$\sqrt{3}$，
△DEF的面積=$\frac{1}{2}$×DE×DFsin120°=$\frac{1}{2}$×2×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
△ABF的面積=$\frac{1}{2}$×AB×AFsin60°=$\frac{1}{2}$×5×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，
△BCE的面積=$\frac{1}{2}$×BC×CEsin60°=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{3}$，
∴△BEF的面積=五邊形ABCEF的面積-△ABF的面積-△BCE的面積=（$\frac{25+25\sqrt{3}}{4}$+$\frac{9}{4}$+1+$\sqrt{3}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）-$\frac{15\sqrt{3}}{4}$-5$\sqrt{3}$=$\frac{19}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的運(yùn)用以及三角形面積的計(jì)算方法等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（2）中，需要通過(guò)作輔助線(xiàn)證明平行線(xiàn)以及間接計(jì)算三角形的面積才能得出結(jié)果．