Question

9．為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶(hù)利用水庫(kù)的岸堤為一邊，用總長(zhǎng)為a米（a為大于21的常數(shù)）的圍網(wǎng)在水庫(kù)中圍成了如圖所示的①②兩塊矩形區(qū)域．已知岸堤的可用長(zhǎng)度不超過(guò)21米．設(shè)AB的長(zhǎng)為x米，矩形區(qū)域ABCD的面積為y平方米
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍（用含a的式子表示）．
（2）若a=30，求y的最大值，并求出此時(shí)x的值．
（3）若a=48，請(qǐng)求出y的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AB的長(zhǎng)為x米，則BC的長(zhǎng)為（a-3x）米，根據(jù)矩形民機(jī)公式可得函數(shù)解析式，由0＜BC≤21可得x的范圍；
（2）將a=30代入解析式配方成頂點(diǎn)式，結(jié)合x(chóng)的范圍可得最值；
（3）將a=48代入解析式配方成頂點(diǎn)式，結(jié)合x(chóng)的范圍可得最值．

解答 解：（1）設(shè)AB的長(zhǎng)為x米，則BC的長(zhǎng)為（a-3x）米，
根據(jù)題意得：y=x（a-3x）=-3x²+ax，
由a-3x≤21可得x≥$\frac{a-21}{3}$，
由a-3x＞0得x＜$\frac{a}{3}$，
∴$\frac{a-21}{3}$≤x＜$\frac{a}{3}$；

（2）當(dāng)a=30時(shí)，y=-3x²+30x=-3（x-5）²+75，
∵3≤x＜10，
∴當(dāng)x=5時(shí)，y取得最大值為75；

（3）當(dāng)a=48時(shí)，y=-3x²+48x=-3（x-8）²+192，
∴當(dāng)x=8時(shí)，y取得最大值為192．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)矩形面積公式得出函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出其最值情況是解題的關(guān)鍵．