Question

14．如圖，⊙E的圓心E（3，0），半徑為5，⊙E與y軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方），與x軸的正半軸交于點(diǎn)C，直線(xiàn)l的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+4，與x軸相交于點(diǎn)D，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）判斷直線(xiàn)l與⊙E的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）動(dòng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，當(dāng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離最小時(shí)．求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及最小距離．

Answer 1

分析 （1）連接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，利用勾股定理求出OA的長(zhǎng)，結(jié)合垂徑定理求出OC的長(zhǎng)，從而得到C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到拋物線(xiàn)的解析式；
（2）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-$\frac{16}{3}$，0），根據(jù)△AOE∽△DOA，求出∠DAE=90°，判斷出直線(xiàn)l與⊙E相切與A．
（3）過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)段PQ，垂足為Q，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)PM垂直于x軸，交直線(xiàn)l于點(diǎn)M．設(shè)M（m，$\frac{3}{4}$m+4），P（m，-$\frac{1}{16}$m²+m-4），得到PM=$\frac{3}{4}$m+4-（-$\frac{1}{16}$m²+m-4）=$\frac{1}{16}$m²-$\frac{1}{4}$m+8=$\frac{1}{16}$（m-2）²+$\frac{31}{4}$，根據(jù)△PQM的三個(gè)內(nèi)角固定不變，得到PQ最小=PM_最小•sin∠QMP=PM_最小•sin∠AEO=$\frac{31}{4}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{31}{5}$，從而得到最小距離．

解答 解：（1）如圖1，連接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，
在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA=$\sqrt{{AE}^{2}-{OE}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵OC⊥AB，
∴由垂徑定理得，OB=OA=4，
OC=OE+CE=3+5=8，
∴A（0，4），B（0，-4），C（8，0），
∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為C，
∴設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x-8）²，
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上解析的式，得64a=-4，故a=-$\frac{1}{16}$，
∴y=-$\frac{1}{16}$（x-8）²，
∴y=-$\frac{1}{16}$x²+x-4為所求拋物線(xiàn)的解析式，

（2）在直線(xiàn)l的解析式y(tǒng)=$\frac{3}{4}$x+4中，令y=0，得$\frac{3}{4}$x+4=0，解得x=-$\frac{16}{3}$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-$\frac{16}{3}$，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=4，
∴點(diǎn)A在直線(xiàn)l上，
在Rt△AOE和Rt△DOA中，
∵$\frac{OE}{OA}$=$\frac{3}{4}$，$\frac{OA}{OD}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{OE}{OA}$=$\frac{OA}{OD}$，
∵∠AOE=∠DOA=90°，
∴△AOE∽△DOA，
∴∠AEO=∠DAO，
∵∠AEO+∠EAO=90°，
∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°，因此，直線(xiàn)l與⊙E相切與A．

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)段PQ，垂足為Q，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)PM垂直于x軸，交直線(xiàn)l于點(diǎn)M．
設(shè)M（m，$\frac{3}{4}$m+4），P（m，-$\frac{1}{16}$m²+m-4），則
PM=$\frac{3}{4}$m+4-（-$\frac{1}{16}$m²+m-4）=$\frac{1}{16}$m²-$\frac{1}{4}$m+8=$\frac{1}{16}$（m-2）²+$\frac{31}{4}$，
當(dāng)m=2時(shí)，PM取得最小值$\frac{31}{4}$，
此時(shí)，P（2，-$\frac{9}{4}$），
對(duì)于△PQM，
∵PM⊥x軸，
∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，
又∠PQM=90°，
∴△PQM的三個(gè)內(nèi)角固定不變，
∴在動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△PQM的三邊的比例關(guān)系不變，
∴當(dāng)PM取得最小值時(shí)，PQ也取得最小值，
PQ最小=PM_最小•sin∠QMP=PM_最小•sin∠AEO=$\frac{31}{4}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{31}{5}$，
∴當(dāng)拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-$\frac{9}{4}$）時(shí)，點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離最小，其最小距離為$\frac{31}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及勾股定理、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、切線(xiàn)的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的最值等知識(shí)，在解答（3）時(shí)要注意點(diǎn)P、點(diǎn)M坐標(biāo)的設(shè)法，以便利用二次函數(shù)的最值求解．