Question

2．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，P為△ABC內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠PAB=∠PBC，則CP的最小值為$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 首先求得∠APB=135°，點(diǎn)P在以AB為弦的⊙O上，然后可求得OC=$\sqrt{2}$，OP=1，當(dāng)點(diǎn)O、P、C在一條直線上時(shí)，PC有最小值．

解答 解：如圖所示：

∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
又∵∠PAB=∠PBC，
∴∠PAB+∠PBA=45°．
∴∠APB=135°．
∴點(diǎn)P在以AB為弦的⊙O上．
∵∠APB=135°，
∴∠AOB=90°．
∴∠OAB=∠OBA=45°．
∴∠CAO=90°．
∴四邊形ACBO為矩形．
∵OA=OB，
∴四邊形AOBC為正方形．
∴OA=OB=1．
∴OP=1，OC=$\sqrt{2}$．
當(dāng)點(diǎn)O、P、C在一條直線上時(shí)，PC有最小值，
∴PC的最小值=OC-OP=$\sqrt{2}$-1．
故答案為：$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的判定，證得點(diǎn)P在以AB為弦的圓弧上是解題的關(guān)鍵．