Question

13．如圖，在平面直角坐標系xOy中的第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)圖象過點A（2，1）和另一動點B（x，y）．
（1）求此函數(shù)表達式；
（2）如果y＞1，寫出x的取值范圍；
（3）直線AB與坐標軸交于點P，如果PB=AB，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）由點A的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)表達式；
（2）由反比例函數(shù)圖象上點的坐標可得出x=$\frac{2}{y}$，結(jié)合點B在第一象限以及y＞1，即可求出x的取值范圍；
（3）分點B在點A的左側(cè)和右側(cè)考慮，構(gòu)造圖形，利于三角形的中衛(wèi)線即可求出點P的坐標．

解答 解：（1）設(shè)反比例函數(shù)表達式為y=$\frac{k}{x}$（k≠0），
∵此函數(shù)過A（2，1），
∴1=$\frac{k}{2}$，解得：k=2，
∴此函數(shù)表達式y(tǒng)=$\frac{2}{x}$．

（2）∵點B在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的第一象限的圖象上，
∴x=$\frac{2}{y}$，且x＞0，
∵y＞1，
∴0＜x＜2．

（3）當點B在點A左邊時，分別過點A、B作y軸的垂線，垂足分別為C、D，如圖1所示．
∵AC∥BD，PB=AB，
∴BD為△PAC的中位線，
∴點B的坐標為（1，2），
∴PC=2CD=2，
∴OP=OC+PC=3，
∴點P（0，3）；
當點B在點A的右邊時，過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥AE于點F，則BF為△AEP的中位線，如圖2所示．
∴點B（4，$\frac{1}{2}$），
∴PE=2BP=4，
∴OP=OE+PE=6，
∴點P（6，0）．
綜上所述：點P的坐標為（0，3）或（6，0）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及三角形的中位線，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標，利于待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)表達式；（2）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征找出x=$\frac{2}{y}$；（3）構(gòu)造三角形，利于三角形的中位線求出點P的坐標．