Question

13．如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，將矩形ABCD折疊，使得點B落在邊AD上，記為點G，BC的對應邊GI與邊CD交于點H，折痕為EF，則AE=4$\sqrt{3}$-2時，△EGH為等腰三角形．

Answer 1

分析 根據余角的性質得到∠AEG=∠DGH，根據全等三角形的性質得到DG=AE，由折疊的性質得到BE=GE，根據勾股定理列方程即可得到結論．

解答 解：∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=∠B=∠EGH=90°，
∴∠AGE+∠AEG=∠AGE+∠DGH=90°，
∴∠AEG=∠DGH，
∵△EGH為等腰三角形，
∴EG=GH，
在△AEG與△DGH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠AEG=∠DGH}\\{EG=GH}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△DGH，
∴DG=AE，
∵AB=8，AD=6，
將矩形ABCD折疊，使得點B落在邊AD上，
∴BE=GE，
∴BE=8-AE，
∴AG=AE+2，
∵AG²+AE²=GE²，
∴（AE+2）²+AE²=（8-AE）²，
∴AE=4$\sqrt{3}$-2，
∴AE=4$\sqrt{3}$-2時，△EGH為等腰三角形．
故答案為：4$\sqrt{3}$-2．

點評 本題考查了折疊的性質，以及勾股定理的應用，全等三角形的判定和性質，矩形的性質，關鍵是熟練掌握勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．