Question

14．在平行四邊形ABCD中，CA=CB=AD，過(guò)B作BG⊥AC于G，過(guò)D作DF⊥BC于F，且BC上一點(diǎn)E滿足DE=DG；
（1）求證：AG=CF；
（2）求證：CG=EF+CF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，AB∥CD，根據(jù)平行線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)和已知推出∠1=∠3，求出∠BGA=∠F=90°，根據(jù)AAS推出△ABG≌△CDF即可；
（2）在CG上截取CH，使CH=CF，連結(jié)DH，根據(jù)全等三角形的判定證出△DCH≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出DH=DF，根據(jù)全等三角形的判定得出Rt△DHG≌Rt△DFE，推出EF=HG，即可得出答案．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABC=∠3，
∵AC=BC，
∴∠1=∠ABC，
∴∠1=∠3，
∵BG⊥AC，DF⊥BC，
∴∠BGA=∠F=90°，
在△ABG和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BGA=∠F}\\{∠1=∠3}\\{AB=CD}\end{array}\right.$
∴△ABG≌△CDF（AAS），
∴AG=CF；


（2）在CG上截取CH，使CH=CF，連結(jié)DH，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，∠ABC=∠3，
∵AC=BC，
∴∠1=∠ABC，
∴∠2=∠3，
在△DCH和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DC}\\{∠2=∠3}\\{CH=CF}\end{array}\right.$
∴△DCH≌△DCF（SAS），
∴DH=DF，
∵∠F=∠DHG=90°，
∴在Rt△DHG和Rt△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=DE}\\{DH=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DHG≌Rt△DFE（HL），
∴EF=HG，
∵CF=CH，
∴CG=GH+CH=EF+CF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能正確運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．