Question

8．如圖，邊長為5的正方形OABC的頂點O在坐標(biāo)原點處，點A，C分別在x軸、y軸的正半軸上，點E是OA邊上的點（不與點A重合），EF⊥CE，且與正方形外角平分線AG交于點P．
（1）求證：CE=EP
（2）過點B作BM∥PE交y軸于點M，連接ME，BP，求證：四邊形BMEP是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）在OC上截取OK=OE．連接EK，求出∠KCE=∠CEA，根據(jù)ASA推出△CKE≌△EAP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；
（2）根據(jù)ASA推出△BCM≌△COE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BM=CE，求出BM=EP．根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形BMEP是平行四邊形，即可求出答案．

解答 （1）證明：在OC上截取OK=OE．連接EK，
∵OC=OA，∠COA=∠BA0=90°，∠OEK=∠OKE=45°，
∵AP為正方形OCBA的外角平分線，
∴∠BAP=45°，
∴∠EKC=∠PAE=135°，
∴CK=EA，
∵EC⊥EP，
∴∠CEF=∠COE=90°，
∴∠CEO+∠KCE=90°，∠CEO+∠PEA=90°，
∴∠KCE=∠CEA，
在△CKE和△EAP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠KCE=∠PEA}\\{CK=EA}\\{∠CKE=∠EAP}\end{array}\right.$
∴△CKE≌△EAP，
∴EC=EP；

（2）∵BM∥PE，
∴∠CNB=∠CEP=90°，
∴∠OCE=∠CBN，
∵在△BCM和△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{CBM=∠OCE}\\{BC=OC}\\{∠BCM=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△COE，
∴BM=CE
∵CE=EP，
∴BM=EP．
∵BM∥EP．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運用知識點進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．