Question

19．如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的邊AB在x軸上，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，直線l：y=kx-2k+4過定點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)E．
（1）求正方形ABCD的邊長(zhǎng)；
（2）如圖2，當(dāng)k=-$\frac{4}{3}$時(shí)，過點(diǎn)C作FC⊥CE，交AD于點(diǎn)F，連接EF，BD相交于點(diǎn)H，BD交y軸于G，求線段GH的長(zhǎng)．
（3）如圖3，在直線l上有一點(diǎn)N，CN=$\frac{1}{2}AB$，連接AN，點(diǎn)M為AN的中點(diǎn)，連接BM，求線段BM的長(zhǎng)度的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由y=kx-2k+4，可得y-4=k（x-2），由y=kx-2k+4過定點(diǎn)，則x與y的值與k無關(guān)，可得$\left\{\begin{array}{l}{x-2=0}\\{y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，進(jìn)而得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，
（2）由k=-$\frac{4}{3}$時(shí)，得出直線l的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$，從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，由FC⊥CE，∠DCB=90°，∠DCF=∠BCE，可得△DCF≌△BCE（ASA），由DF=BE=5-2=3，AF=1，得出點(diǎn)F（-2，1），由直線EF的解析式為y=-$\frac{1}{7}$x+$\frac{5}{7}$，直線BD的解析式為y=-x+2，聯(lián)立得得出G（0，2），利用兩點(diǎn)間的距離可得出GH的值，
（3）在x軸上截取BP=AB，連接NP、CP，由CN=$\frac{1}{2}$AB=2，CP=4$\sqrt{2}$，可得NP≤CP-CN=4$\sqrt{2}$-2，所以當(dāng)C、N、P三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，又由M為AN的中點(diǎn)，B為AP的中點(diǎn)，得出線段BM的長(zhǎng)度的最小值為BM=$\frac{1}{2}$NP≤2$\sqrt{2}$-1，利用相似三角形相似比可得出N的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由y=kx-2k+4，得y-4=k（x-2），
∵直線l：y=kx-2k+4過定點(diǎn)，則x與y的值與k無關(guān)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2=0}\\{y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴C（2，4），
∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，
（2）當(dāng)k=-$\frac{4}{3}$時(shí)，直線l的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$，
當(dāng)y=0時(shí)，x=5，
∴E（5，0），
∵FC⊥CE，∠DCB=90°，
∴∠DCF=∠BCE，
在△DCF和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCF=∠BCE}\\{CD=CB}\\{∠CDF=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△BCE（ASA），
∴DF=BE=5-2=3，AF=1，
∴F（-2，1）
∴直線EF的解析式為y=-$\frac{1}{7}$x+$\frac{5}{7}$，
∵B（2，0），D（-2，4），
∴直線BD的解析式為y=-x+2，
聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{7}x+\frac{5}{7}}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∵G（0，2），
∴GH=$\sqrt{（\frac{3}{2}-0）^{2}+（\frac{1}{2}-2）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
（3）如圖3，在x軸上截取BP=AB，連接NP、CP，

∵CN=$\frac{1}{2}$AB=2，CP=4$\sqrt{2}$，
∴NP≤CP-CN=4$\sqrt{2}$-2，
當(dāng)C、N、P三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，
又∵M(jìn)為AN的中點(diǎn)，B為AP的中點(diǎn)，
∴線段BM的長(zhǎng)度的最小值為BM=$\frac{1}{2}$NP≤2$\sqrt{2}$-1，
所以線段BM的長(zhǎng)度的最小值為2$\sqrt{2}$-1；
如圖4，C、N、P三點(diǎn)共線，

BE=4，EN=4$\sqrt{2}$-2，
設(shè)N（x，y），$\frac{y}{BC}$=$\frac{EN}{EC}$，得$\frac{y}{4}$=$\frac{4\sqrt{2}-2}{4\sqrt{2}}$，解得y=4-$\sqrt{2}$，
$\frac{6-x}{4}$=$\frac{4\sqrt{2}-2}{4\sqrt{2}}$，解得x=2+$\sqrt{2}$
∴此時(shí)N（2+$\sqrt{2}$，4-$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一次函數(shù)的綜合題，涉及一次函數(shù)解析式、全等三角形的判定、三角形的三邊關(guān)系及相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比，解題的關(guān)鍵是當(dāng)C、N、P三點(diǎn)共線時(shí)，取得BM的長(zhǎng)度的最小值．