Question

3．直線y=-x+m與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于點E（$\frac{1}{2}$，2），F(xiàn)兩點．
（1）求k，m的值及點F的坐標(biāo)；
（2）將直線y=-x+m沿y軸向下平移n個單位后恰好與雙曲線y=$\frac{k}{x}$只有一個交點，求n的值；
（3）已知函數(shù)y=$\frac{1}{|x|}$的圖象在第一象限的一支曲線上有一點A（a，c），點B（b，c+1）在該函數(shù)圖象的另外一支上，設(shè)關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根為x₁，x₂，求x₁+x₂的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求出k，m的值，通過解方程組即可得出點F的坐標(biāo)；
（2）結(jié)合（1）中得結(jié)論得出平移后的直線的解析式，將其代入反比例函數(shù)解析式中，整理得出關(guān)于x的二次方程，令其根的判別式△=0，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)點A（a，c）在第一象限的一支曲線上，得出a＞0，c＞0，再點B（b，c+1）在該函數(shù)圖象的另外一支上，得出b＜0，c+1＞0，再根據(jù)x₁+x₂=-$\frac{a}$，即可得出x₁+x₂的取值范圍．

解答 解：（1）∵直線y=-x+m與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于點E（$\frac{1}{2}$，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=-\frac{1}{2}+m}\\{2=\frac{k}{\frac{1}{2}}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{5}{2}}\\{k=1}\end{array}\right.$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+\frac{5}{2}}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴點F的坐標(biāo)為（2，$\frac{1}{2}$）；

（2）將直線y=-x+$\frac{5}{2}$沿y軸向下平移n個單位后，可得y=-x+$\frac{5}{2}$-n，
由-x+$\frac{5}{2}$-n=$\frac{1}{x}$，可得x²+（n-$\frac{5}{2}$）x+1=0，
∵平移后的中線恰好與雙曲線y=$\frac{k}{x}$只有一個交點，
∴△=（n-$\frac{5}{2}$）²-4=0，
解得n=$\frac{1}{2}$或$\frac{9}{2}$；

（3）∵點A（a，c）在第一象限的一支曲線上，
∴a＞0，c＞0，且ac=1，即a=$\frac{1}{c}$，
∵點B（b，c+1）在該函數(shù)圖象的另外一支上，即第二象限，
∴b＜0，c+1＞0，且b（c+1）=-1，即b=-$\frac{1}{c+1}$，
∴x₁+x₂=-$\frac{a}$=$\frac{c}{c+1}$，
∴0＜x₁+x₂＜1．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、根的判別式以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用根的判別式得出關(guān)于n的一元二次方程．