Question

7．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長線上的一點(diǎn)．
（1）若ED⊥EF，求證：ED=EF；
（2）在（1）的條件下，若DC的延長線與FB交于點(diǎn)P，試判斷四邊形ACPE是否為平行四邊形？并證明你的結(jié)論（請先補(bǔ)全圖形，再解答）；
（3）在（1）的條件下，若BC的延長線交DF于點(diǎn)Q，連接QA與QE．試說明QA=QE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，連接CE，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=AD，等量代換得到AC=CF，于是得到CP=$\frac{1}{2}$AB=AE，根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到四邊形ACPE為平行四邊形；
（3）由（1）知AC=CF，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到DQ=FQ，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：在?ABCD中，
∵AD=AC，AD⊥AC，
∴AC=BC，AC⊥BC，
連接CE，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴AE=EC，CE⊥AB，
∴∠ACE=∠BCE=45°，
∴∠ECF=∠EAD=135°，
∵ED⊥EF，
∴∠CEF=∠AED=90°-∠CED，
在△CEF和△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CEF=∠AED}\\{EC=AE}\\{∠ECF=∠EAD}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△AED，
∴ED=EF；

（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，
∵AD=AC，
∴AC=CF，
∵DP∥AB，
∴FP=PB，
∴CP=$\frac{1}{2}$AB=AE，
∴四邊形ACPE為平行四邊形；

（3）由（1）知AC=CF，
∵CQ∥AD，
∴DQ=FQ，
∵在Rt△DAF與Rt△DEF中，
∴AQ=EQ=$\frac{1}{2}$DF．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．