Question

11．如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，點E是AD邊上一動點（不與點A，D重合 ），過A、E、C三點的⊙O交AB延長線于點F，連接CE、CF．
（1）求證：△DEC∽△BFC；
（2）設DE的長為x，△AEF的面積為y．
①求y關于x的函數關系式，并求出當x為何值時，y有最大值；
②連接AC，若△ACF為等腰三角形，求x的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接EF．首先證明EF是⊙O直徑，推出∠ECF=90°，由∠DCB=∠ECF，推出∠DCE=∠BCF，由∠D=∠CBF，即可證明△DEC∽△BFC．
（2）①由△DEC∽△BFC，得$\frac{DE}{BF}$=$\frac{CD}{CB}$，求出BF，構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．
②分三種情形討論即可解決問題．a、當AC=AF=$\sqrt{5}$時．b、當CA=CF時，易知AB=BF=1，c、當FC=FA時，則有（2x）²+2²=（1+2x）²．

解答 （1）證明：如圖1中，連接EF．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=1，AD=BC=2，∠A=∠D=∠DCB=∠ABC=∠CBF=90°，
∴EF是⊙O直徑，
∴∠ECF=90°，
∴∠DCB=∠ECF，
∴∠DCE=∠BCF，∵∠D=∠CBF，
∴△DEC∽△BFC．

（2）①∵△DEC∽△BFC，
∴$\frac{DE}{BF}$=$\frac{CD}{CB}$，
∴$\frac{x}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
∴BF=2x，AF=1+2x，
∴y=$\frac{1}{2}$•AE•AF=$\frac{1}{2}$（2-x）（1+2x）=-x²+$\frac{3}{2}$x+1=-（x-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{25}{16}$，
∵-1＜0，
∴當x=$\frac{3}{4}$時，y有最大值．

②如圖2中，a、當AC=AF=$\sqrt{5}$時，
∵BF=2x=$\sqrt{5}$-1，
∴x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
b、當CA=CF時，易知AB=BF=1，
∴2x=1，
∴x=$\frac{1}{2}$．
c、當FC=FA時，則有（2x）²+2²=（1+2x）²，
解得x=$\frac{3}{4}$，
綜上所述，△ACF為等腰三角形，x的值為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查圓綜合題、矩形的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會添加常用輔助線，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．