Question

15．如圖1，對稱軸為直線x=$\frac{1}{2}$的拋物線經(jīng)過B（2，0）、C（0，4）兩點，拋物線與x軸的另一交點為A
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點，設(shè)四邊形COBP的面積為S，求S的最大值；
（3）如圖2，若M是線段BC上一動點，在x軸是否存在這樣的點Q，使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由對稱軸的對稱性得出點A的坐標，由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）作輔助線把四邊形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面積S，化簡后是一個關(guān)于S的二次函數(shù)，求最值即可；
（3）畫出符合條件的Q點，只有一種，①利用平行相似得對應(yīng)高的比和對應(yīng)邊的比相等列比例式；②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程；兩方程式組成方程組求解并取舍．

解答 解：（1）由對稱性得：A（-1，0），
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-2），
把C（0，4）代入：4=-2a，
a=-2，
∴y=-2（x+1）（x-2），
∴拋物線的解析式為：y=-2x²+2x+4；
（2）如圖1，設(shè)點P（m，-2m²+2m+4），過P作PD⊥x軸，垂足為D，
∴S=S_梯形+S_△PDB=$\frac{1}{2}$m（-2m²+2m+4+4）+$\frac{1}{2}$（-2m²+2m+4）（2-m），
S=-2m²+4m+4=-2（m-1）²+6，
∵-2＜0，
∴S有最大值，則S_大=6；
（3）存在這樣的點Q，使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形，
理由是：
分以下兩種情況：
①當(dāng)∠BQM=90°時，如圖2：
∵∠CMQ＞90°，
∴只能CM=MQ．
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b（k≠0），
把B（2，0）、C（0，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=-2x+4，
設(shè)M（m，-2m+4），
則MQ=-2m+4，OQ=m，BQ=2-m，
在Rt△OBC中，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵MQ∥OC，
∴△BMQ∽BCO，
∴$\frac{BM}{BC}=\frac{BQ}{BO}$，即$\frac{BM}{2\sqrt{5}}=\frac{2-m}{2}$，
∴BM=$\sqrt{5}$（2-m）=2$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$m，
∴CM=BC-BM=2$\sqrt{5}$-（2$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$m）=$\sqrt{5}$m，
∵CM=MQ，
∴-2m+4=$\sqrt{5}$m，m=$\frac{4}{\sqrt{5}+2}$=4$\sqrt{5}$-8．
∴Q（4$\sqrt{5}$-8，0）．
②當(dāng)∠QMB=90°時，如圖3，
同理可設(shè)M（m，-2m+4），
過A作AE⊥BC，垂足為E，
∴∠EAB=∠OCB，
∴sin∠EAB=$\frac{BE}{AB}=\frac{OB}{BC}$，
∴$\frac{BE}{3}=\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
∴BE=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
過E作EF⊥x軸于F，
sin∠CBO=$\frac{EF}{BE}=\frac{OC}{BC}$，
∴$\frac{EF}{\frac{3\sqrt{5}}{5}}=\frac{4}{2\sqrt{5}}$，
∴EF=$\frac{6}{5}$，
由勾股定理得：BF=$\sqrt{B{E}^{2}-E{F}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
∴OF=2-$\frac{3}{5}$=$\frac{7}{5}$，
∴E（$\frac{7}{5}$，$\frac{6}{5}$），
由A（-1，0）和E（$\frac{7}{5}$，$\frac{6}{5}$）可得：
則AE的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
則直線BC與直線AE的交點E（1.4，1.2），
設(shè)Q（-x，0）（x＞0），
∵AE∥QM，
∴△ABE∽△QBM，
∴$\frac{1.2}{-2m+4}=\frac{3}{2+x}$①，
由勾股定理得：x²+4²=2×[m²+（-2m+4-4）²]②，
由以上兩式得：m₁=4（舍），m₂=$\frac{4}{3}$，
當(dāng)m=$\frac{4}{3}$時，x=$\frac{4}{3}$，
∴Q（-$\frac{4}{3}$，0）．
綜上所述，Q點坐標為（4$\sqrt{5}$-8，0）或（-$\frac{4}{3}$，0）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合問題，綜合性較強；考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，并利用方程組求圖象的交點坐標，將函數(shù)和方程有機地結(jié)合，進一步把函數(shù)簡單化；同時還考查了相似的性質(zhì)：在二次函數(shù)的問題中，如果利用勾股定理不能求的邊可以考慮利用相似的性質(zhì)求解．