Question

10．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB=8，∠BAD=60°，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，作EG∥AD交AC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AD交AD（或AD的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)H，得到矩形EFHG，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒
（1）求線段EF的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）求點(diǎn)H與點(diǎn)D重合時(shí)t的值；
（3）設(shè)矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積與S平方單位，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）矩形EFHG的對(duì)角線EH與FG相交于點(diǎn)O′，當(dāng)OO′∥AD時(shí)，t的值為4；當(dāng)OO′⊥AD時(shí)，t的值為3．

Answer 1

分析 （1）由題意知：AE=2t，由銳角三角函數(shù)即可得出EF=$\sqrt{3}$t；
（2）當(dāng)H與D重合時(shí)，F(xiàn)H=GH=8-t，由菱形的性質(zhì)和EG∥AD可知，AE=EG，解得t=$\frac{8}{3}$；
（3）矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形需要分以下兩種情況討論：①當(dāng)H在線段AD上，此時(shí)重合的部分為矩形EFHG；②當(dāng)H在線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，重合的部分為五邊形；
（4）當(dāng)OO′∥AD時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E與B重合；當(dāng)OO′⊥AD時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AD于點(diǎn)M，EF與OA相交于點(diǎn)N，然后分別求出O′M、O′F、FM，利用勾股定理列出方程即可求得t的值．

解答 解：（1）由題意知：AE=2t，0≤t≤4，
∵∠BAD=60°，∠AFE=90°，
∴sin∠BAD=$\frac{EF}{AE}$，
∴EF=$\sqrt{3}$t；

（2）∵AE=2t，∠AEF=30°，
∴AF=t，
當(dāng)H與D重合時(shí)，
此時(shí)FH=8-t，
∴GE=8-t，
∵EG∥AD，
∴∠EGA=30°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BAC=30°，
∴∠BAC=∠EGA=30°，
∴AE=EG，
∴2t=8-t，
∴t=$\frac{8}{3}$；

（3）當(dāng)0＜t≤$\frac{8}{3}$時(shí)，
此時(shí)矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形為矩形EFHG，
∴由（2）可知：AE=EG=2t，
∴S=EF•EG=$\sqrt{3}$t•2t=2$\sqrt{3}$t²，
當(dāng)$\frac{8}{3}$＜t≤4時(shí)，如圖1，
設(shè)CD與HG交于點(diǎn)I，
此時(shí)矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形為五邊形FEGID，
∵AE=2t，
∴AF=t，EF=$\sqrt{3}$t，
∴DF=8-t，
∵AE=EG=FH=2t，
∴DH=2t-（8-t）=3t-8，
∵∠HDI=∠BAD=60°，
∴tan∠HDI=$\frac{HI}{DH}$，
∴HI=$\sqrt{3}$DH，
∴S=EF•EG-$\frac{1}{2}$DH•HI=2$\sqrt{3}$t²-$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$（3t-8）²=-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$t²+24$\sqrt{3}$t-32$\sqrt{3}$；

（4）當(dāng)OO′∥AD時(shí)，如圖2
此時(shí)點(diǎn)E與B重合，
∴t=4；
當(dāng)OO′⊥AD時(shí)，如圖3，
過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AD于點(diǎn)M，EF與OA相交于點(diǎn)N，
由（2）可知：AF=t，AE=EG=2t，
∴FN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
∵O′是矩形EFHG的對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴FM=$\frac{1}{2}$EG=t，
∵O′O⊥AD，O′是FG的中點(diǎn)，
∴O′O是△FNG的中位線，
∴O′O=$\frac{1}{2}$FN=$\frac{\sqrt{3}}{6}$t，
∵AB=8，
∴由勾股定理可求得：OA=4$\sqrt{3}$
∴OM=2$\sqrt{3}$，
∴O′M=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$t，
∵FE=$\sqrt{3}$t，EG=2t，
∴由勾股定理可求得：FG²=7t²，
∴由矩形的性質(zhì)可知：O′F²=$\frac{1}{4}$FG²，
∵由勾股定理可知：O′F²=O′M²+FM²，
∴$\frac{7}{4}$t²=（2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$t）²+t²，
∴t=3或t=-6（舍去）．
故答案為：t=4；t=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形的綜合問(wèn)題，涉及矩形和菱形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，解方程等知識(shí)，綜合程度較高，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力．