Question

19．已知方程x²-21x+21a-1=0有正整數(shù)根，求正整數(shù)a的值．

Answer 1

分析 由方程有實數(shù)根結合根的判別式可得出關于a的一元一次不等式，解不等式即可得出a的取值范圍，結合a為正整數(shù)即可得出a的值，再根據(jù)方程有正整數(shù)根，即可得出445-84a為正整數(shù)的平方，依次代入a的值即可得出結論．

解答 解：∵方程x²-21x+21a-1=0有實數(shù)根，
∴△=（-21）²-4×1×（21a-1）=445-84a≥0，
解得：a≤$\frac{445}{84}$．
由求根公式可知：x=$\frac{21±\sqrt{445-84a}}{2}$．
∵a為正整數(shù)，
∴a=1，2，3，4，5，
∵方程x²-21x+21a-1=0有正整數(shù)根，
∴445-84a為正整數(shù)的平方．
當a=1時，$\sqrt{445-84a}$=$\sqrt{361}$=19，
此時x=20或x=1；
當a=2時，$\sqrt{445-84a}$=$\sqrt{277}$（舍去）；
當a=3時，$\sqrt{445-84a}$=$\sqrt{193}$（舍去）；
當a=4時，$\sqrt{445-84a}$=$\sqrt{109}$（舍去）；
當a=5時，$\sqrt{445-84a}$=$\sqrt{25}$=5，
此時x=13或x=8．
綜上可知：正整數(shù)a的值為1或5．

點評 本題考查了根的判別式，解題的關鍵是根據(jù)根的判別式以及a為正整數(shù)找出a的值．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)方程根的情況結合根的判別式得出方程（不等式或不等式組）是關鍵．