Question

如圖，等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)PA=CQ時(shí)，連PQ交AC邊于D，
①猜想DE與AB的關(guān)系？并加以證明；
②若P是AB延長(zhǎng)線一點(diǎn)，Q為BC一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論成立嗎？畫(huà)圖并證明．
（友情引導(dǎo)：若不知道，你可以動(dòng)手去量發(fā)現(xiàn)結(jié)論．若不會(huì)，P是動(dòng)點(diǎn)，你可以把P運(yùn)動(dòng)到特殊的地方，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在可利用什么性質(zhì)？接下來(lái)證明．發(fā)現(xiàn)缺少什么？就補(bǔ)什么？若還不會(huì)，你能發(fā)現(xiàn)有線段相等嗎？嘗試證明，你會(huì)有驚喜．）

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）過(guò)P做BC的平行線至AC于F，可證△PFD≌△QCD，即可得FD=CD，即可求得AB=2DE；
（2）和（1）求解方法相同，注意根據(jù)題意畫(huà)出圖形．

解答：解：（1）過(guò)P做BC的平行線至AC于F，

∵PF∥BC，∴△APF為等邊三角形，
∵PE⊥AF，∴AE=EF
∵AP=PF，QP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，

∠PDF=∠QDC ∠DPE=∠DQC PF=CQ

，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∴AC=DE+AE+CD=DE+EF+FD=2DE．
∴AB=2DE．
（2）過(guò)P做BC的平行線至AC于F，

∵PF∥BC，∴△APF為等邊三角形，
∵PE⊥AF，∴AE=EF
∵AP=PF，QP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，

∠PDF=∠QDC ∠DPF=∠DQC PF=CQ

，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∴AC=CD+AD=DF+AD=DE+EF+AD=DE+AE+AD=2DE．
∴AB=2DE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了等邊三角形的性質(zhì)．