Question

20．如圖，直線y₁=kx+b與反比例函數(shù)y₂=$\frac{k′}{x}$（x＜0）的圖象相交于點A、點B，與x軸交于點C，其中點A的坐標為（-2，4），點B的橫坐標為-4．
（1）試確定反比例函數(shù)和直線AB的解析式；
（2）求△AOB的面積．
（3）觀察圖象，請直接寫出當y₁＞y₂時，x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由點A的坐標利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出反比例函數(shù)解析式，由點B的橫坐標結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出點B的坐標，再根據(jù)點A、B的坐標利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式；
（2）過點B作BD∥x軸交OA于點D，由點A的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線OA的解析式，結(jié)合點B的坐標即可得出點D的坐標，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出△AOB的面積；
（3）觀察函數(shù)圖象，根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系即可得出當y₁＞y₂時x的取值范圍．

解答 解：（1）∵點A（-2，4）在反比例函數(shù)y₂=$\frac{k′}{x}$的圖象上，
∴k′=-2×4=-8，
∴反比例函數(shù)解析式為y₂=-$\frac{8}{x}$．
∵點B在反比例函數(shù)y₂=-$\frac{8}{x}$的圖象上，且點B的橫坐標為-4，
∴點B的坐標為（-4，2）．
將A（-2，4）、B（-4，2）代入y₁=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=4}\\{-4k+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=x+6．
（2）過點B作BD∥x軸交OA于點D，如圖所示．
設直線OA的解析式為y=mx，
將A（-2，4）代入y=mx，
4=-2m，解得：m=-2，
∴直線OA的解析式為y=-2x，
∴點D的坐標為（-1，2），
∴BD=-1-（-4）=3．
∴S_△AOB=S_△ABD+S_△OBD=$\frac{1}{2}$×3×（4-2）+$\frac{1}{2}$×3×（2-0）=6．
（3）觀察函數(shù)圖象可知：當-4＜x＜-2時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方，
∴當y₁＞y₂時，x的取值范圍為-4＜x＜-2．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、反比例（一次）函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）利用分割圖形求面積法求出△AOB的面積；（3）根據(jù)函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系找出不等式的解集．