Question

5．已知拋物線y=ax²-2x+c與x軸交于A（-1，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．對(duì)稱軸為x=1，頂點(diǎn)為E，直線y=-$\frac{1}{3}$x+1交y軸于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：△BCE∽△BOD；
（3）點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)．△BDP的面枳等于△BOE的面積？

Answer 1

分析 （1）在拋物線y=ax²-2x+c中，已知對(duì)稱軸x=-$\frac{2a}$=1，可求出a的值；再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，可確定c的值，由此得解．
（2）首先由拋物線的解析式，確定點(diǎn)B、C、E的坐標(biāo)，由直線BD的解析式能得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；在求出△BCE、△BOD的三邊長后，由SSS來判定這兩個(gè)三角形相似．
（3）△BOE的面積易得，而在（2）中求出了BD的長，由△BDP、△BOE的面積相等先求出點(diǎn)P到直線BD的距離，如何由這個(gè)距離求出點(diǎn)P的坐標(biāo)？這里需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化；首先在y軸上取一點(diǎn)（可設(shè)為點(diǎn)M），使得點(diǎn)M到直線BD的距離等于點(diǎn)P到直線BD的距離，通過解直角三角形先求出DM的長，由此確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后過M作平行于直線BD的直線，再聯(lián)立拋物線的解析式即可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）拋物線y=ax²-2x+c中，對(duì)稱軸x=-$\frac{2a}$=-$\frac{-2}{2a}$=1，∴a=1；
將點(diǎn)A（-1，0）代入y=ax²-2x+c中，得：1+2+c=0，c=-3；
∴拋物線的解析式：y=x²-2x-3．
（2）∵拋物線的解析式：y=x²-2x-3=（x-1）²-4=（x+1）（x-3），
∴點(diǎn)C（0，-3）、B（3，0）、E（1，-4）；
易知點(diǎn)D（0，1），則有：
OD=1、OB=3、BD=$\sqrt{10}$；
CE=$\sqrt{2}$、BC=3$\sqrt{2}$、BE=2$\sqrt{5}$；
∴$\frac{OD}{CE}=\frac{OB}{BC}=\frac{BD}{BE}$，
∴△BCE∽△BOD．
（3）S_△BOE=$\frac{1}{2}$×BO×|y_E|=$\frac{1}{2}$×3×4=6；
∴S_△BDP=$\frac{1}{2}$×BD×h=S_△BOE=6，即 h=$\frac{12}{\sqrt{10}}$．
在y軸上取點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN₁⊥BD于N₁，使得MN₁=h=$\frac{12}{\sqrt{10}}$；
在Rt△MN₁D中，sin∠MDN₁=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，且 MN₁=$\frac{12}{\sqrt{10}}$；則 MD=$\frac{M{N}_{1}}{sin∠MD{N}_{1}}$=4；
∴點(diǎn)M（0，-3）或（0，5）．
過點(diǎn)M作直線l∥MN₂，如右圖，則 直線l：y=-$\frac{1}{3}$x-3或y=-$\frac{1}{3}$x+5，聯(lián)立拋物線的解析式有：
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+5}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=-3}\end{array}\right.、\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{5}{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{32}{9}}\end{array}\right.$、$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=\frac{5+\sqrt{313}}{6}}\\{{y}_{3}=\frac{85-\sqrt{313}}{18}}\end{array}\right.$、$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{4}=\frac{5-\sqrt{313}}{6}}\\{{y}_{4}=\frac{85+\sqrt{313}}{18}}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-3）、$（\frac{5}{3}，-\frac{32}{9}）、（\frac{5+\sqrt{313}}{6}，\frac{85-\sqrt{313}}{18}）$、$（\frac{5-\sqrt{313}}{6}，\frac{85+\sqrt{313}}{18}）$時(shí)，△BDP的面積等于△BOE的面積．

點(diǎn)評(píng) 該題考查的是涉及到拋物線解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的解法等重點(diǎn)知識(shí)；最后一題中，由于BD不與x軸、y軸垂直，給解答帶來了難度，但通過將BD邊上的高進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，得出過點(diǎn)P且與BD平行的直線l的解析式是突破題目的關(guān)鍵．